Kurzfristige Preisuntergrenze

Variable Stückkostenfunktion

Gegeben sei eine Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K} }[/math] mit der variablen Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K_v }[/math] und den Fixkosten [math]\displaystyle{ d \in \mathbb{R}^{\gt 0} }[/math]. Dann nennen wir [math]\displaystyle{ k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x} }[/math] variable Stückkostenfunktion oder variable Stückkosten. Die Kostenfunktion berechnet sich durch [math]\displaystyle{ K(x)=k_v(x)\cdot x+d }[/math]. [math]\displaystyle{ x }[/math] ist in ME, [math]\displaystyle{ K(x) }[/math] in GE und [math]\displaystyle{ k_v(x) }[/math] in GE pro ME gegeben.

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K} }[/math] eine Kostenfunktion und [math]\displaystyle{ k_v }[/math] die dazugehörige variable Stückkostenfunktion. Die Minimalstelle [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_{ök} }[/math] der variablen Stückkosten [math]\displaystyle{ k_v }[/math] nennen wir Betriebsminimum. Das dazugehörige Minimum [math]\displaystyle{ k_v(x_0) }[/math] heißt kurzfristige Preisuntergrenze.

Beispiele

Variable Stückkosten für die allgemeine Kostenfunktion dritten Grades

Für die Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K(x)=ax^3+bx^2+cx+d }[/math] und [math]\displaystyle{ a, b, c, d \in \mathbb{R}^{\neq\ 0} }[/math] sind die variablen Kosten durch [math]\displaystyle{ K_v(x)=ax^3+bx^2+cx }[/math]. Wir berechnen die variablen Stückkosten durch [math]\displaystyle{ k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}=\frac{ax^3+bx^2+cx}{x}=ax^2+bx+c }[/math] gegeben. Die Kostenfunktion lässt sich mit den variablen Stückkosten durch [math]\displaystyle{ K(x)=k_v(x)\cdot x=(ax^3+bx^2+cx)\cdot x+d=ax^3+bx^2+cx+d }[/math] berechnen.

Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze ermitteln

Graphen der Kostenfunktion, Stückkostenfunktion und variabler Stückkostenfunktion zu [math]\displaystyle{ K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10 }[/math]

Die Gesamtkostenfunktion für ein Produkt sei durch [math]\displaystyle{ K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10 }[/math] gegeben. [math]\displaystyle{ x }[/math] ist in ME und [math]\displaystyle{ K(x) }[/math] in GE.

Wir berechnen die Variablen Stückkosten [math]\displaystyle{ k_v(x)=\frac{x^3-6,125x^2+12,5x}{x}=x^2-6,125x+12,5 }[/math] mit [math]\displaystyle{ k_v'(x)=2x-6,125 }[/math] und [math]\displaystyle{ k_v''(x)=2 }[/math].

1. Notwendige Bedingung:
   [math]\displaystyle{ k_v'(x)=0 }[/math]
   [math]\displaystyle{ 2x-6,125=0~|~+6,125 }[/math]
   [math]\displaystyle{ 2x=6,125~|~:2 }[/math]
   [math]\displaystyle{ x=3,0625 }[/math]
2. Hinreichende Bedingung:
   [math]\displaystyle{ k_v''(3,0625)=2\gt 0 }[/math], daher ist [math]\displaystyle{ x=3,0625 }[/math] ist das Betriebsminimum.
3. Funktionswert ermitteln:
   [math]\displaystyle{ k_v(3,0625)=3,0625^2-6,125 \cdot 3,0625+12,5=3,12109375 \approx 3,12 }[/math] ist die kurzfristige Preisuntergrenze.