Annuitätentilgung
Bei der Annuitätentilgung wird ein Kredit (auch Darlehen genannt) jährlich durch [math]\displaystyle{ n }[/math] gleich hohe Raten [math]\displaystyle{ A }[/math] (Annuität) getilgt. Dabei gilt [math]\displaystyle{ A=Z(k)+T(k) }[/math], wobei [math]\displaystyle{ Z(k) }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ T(k) }[/math] der Zinsanteil bzw. der Tilgungsanteil in Jahr [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N} }[/math] sind.
Tilgungs- und Zinsanteil aus Annuität berechnen
Dabei ist [math]\displaystyle{ p }[/math] der Zinssatz und [math]\displaystyle{ q=1+p }[/math] der Faktor, um den der Tilgungsanteil der Annuität steigt. Für Jahr [math]\displaystyle{ k \geq 2 }[/math] gilt [math]\displaystyle{ T(k)=T(1)\cdot q^{k-1} }[/math] und [math]\displaystyle{ Z(k)=A-T(k) }[/math].
Berechnung des Kredits und der Annuität
Die Formel für die Annuitätentilgung lautet
[math]\displaystyle{ K(0)=A \cdot \frac{q^n-1}{(q-1)\cdot q^n} }[/math]
Lösen wir die Formel nach [math]\displaystyle{ A }[/math] auf, erhalten wir
[math]\displaystyle{ A=K(0) \cdot \frac{(q-1)\cdot q^n}{q^n-1} }[/math]
Restschuld ermitteln
Am Ende von Jahr k beträgt die Restschuld
[math]\displaystyle{ K(k)=K(0) \cdot q^k-A \cdot \frac{q^k-1}{q-1} }[/math]
Das entspricht der Differenz aus dem aufgezinsten Kredit und dem bis dahin gezahlten Betrag.
Zusammenhang zur Rentenrechnung
Die Formel für die Annuitätentilgung entspricht der Formel zur Berechnung des nachschüssigen Rentenbarwerts (siehe Rentenrechnung#Nachschüssiger und vorschüssiger Rentenbarwert), [math]\displaystyle{ R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n} }[/math]. Der nachschüssige Rentenbarwert entspricht also dem Kredit und die Annuität entspricht der Rente.
Beispiel
Es wird ein Kredit in Höhe von 10.000 € zu einem Zinssatz von 8,25 % aufgenommen. Der Kredit soll über vier Jahre getilgt werden.
Es gilt [math]\displaystyle{ K(0)=10.000 }[/math], [math]\displaystyle{ q=1,0825 }[/math], [math]\displaystyle{ n=4 }[/math].
Die Annuität berechnet sich durch [math]\displaystyle{ A=10.000 \cdot \frac{(1,0825-1)\cdot 1,0825^4}{1,0825^4-1} \approx 3.036,03 }[/math] €.
Der Tilgungsplan sieht wie folgt aus:
| Jahr | Schuld zu Jahresbeginn in € | Zinsen in € | Tilgung in € | Restschuld am Jahresende in € |
|---|---|---|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ K(0)=10.000 }[/math] | [math]\displaystyle{ Z(1)=10.000\cdot 0,0825=825 }[/math] | [math]\displaystyle{ T(1)=3.036,03-825=2.211,03 }[/math] | [math]\displaystyle{ K(1)=10.000-3.036,03=7.788,97 }[/math] |
| 2 | 7.788,97 | 642,59 | 2.393,44 | 5.395,54 |
| 3 | 5.395,54 | 445,13 | 2.590,89 | 2.804,64 |
| 4 | 2.804,64 | 231,38 | 2804,64 | 0 |
Die Restschuld am Ende von Jahr [math]\displaystyle{ k=3 }[/math] lässt sich auch direkt [math]\displaystyle{ K(3)=10.000 \cdot 1,0825^3- 3.036,03 \cdot \frac{1,0825^3-1}{1,0825-1} \approx 2.804,64 }[/math]€ berechnen.
Der Tilgungsanteil für Jahr 3 berechnet sich durch [math]\displaystyle{ T(3)=2.211,03 \cdot 1,0825^{3-1} \approx 2590.89 }[/math]€. Damit beträgt der Zinsanteil [math]\displaystyle{ Z(1)=3036,03-2590.89=445,13 }[/math]€.