Annuitätentilgung
Bei der Tilgungsrechnung wird ein Kredit [math]\displaystyle{ K(0) \in \mathbb{R}^{\geq 0} }[/math] aufgenommen und über die Laufzeit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] getilgt (zurückgezahlt). Auf die Restschuld (Kredit minus Tilgung) werden jedes Jahr Zinsen gezahlt, die mit dem Zinssatz [math]\displaystyle{ p }[/math] mit [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] berechnet werden. Bei der Annuitätentilgung ist jährliche Rückzahlung gleich hoch. Dadurch wird die Planbarkeit erleichtert.
Definition
Bei der Annuitätentilgung wird ein Kredit (auch Darlehen genannt) jährlich durch [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] gleich hohe Raten [math]\displaystyle{ A }[/math] (Annuität) getilgt. Dabei gilt [math]\displaystyle{ A=Z(k)+T(k) }[/math], wobei [math]\displaystyle{ Z(k)\in \mathbb{R}^{\geq 0} }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ T(k)\in \mathbb{R}^{\geq 0} }[/math] der Zinsanteil bzw. der Tilgungsanteil in Jahr [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N} }[/math] sind.
Tilgungs- und Zinsanteil aus Annuität berechnen
Dabei ist [math]\displaystyle{ p }[/math] mit [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] der Zinsen und [math]\displaystyle{ q=1+p }[/math] der Faktor, um den der Tilgungsanteil der Annuität steigt. Für Jahr [math]\displaystyle{ k \geq 2 }[/math] gilt [math]\displaystyle{ T(k)=T(1)\cdot q^{k-1} }[/math] und [math]\displaystyle{ Z(k)=A-T(k) }[/math].
Berechnung des Kredits und der Annuität
Die Formel für die Annuitätentilgung lautet
[math]\displaystyle{ K(0)=A \cdot \frac{q^n-1}{(q-1)\cdot q^n} }[/math]
Lösen wir die Formel nach [math]\displaystyle{ A }[/math] auf, erhalten wir
[math]\displaystyle{ A=K(0) \cdot \frac{(q-1)\cdot q^n}{q^n-1} }[/math]
Restschuld ermitteln
Am Ende von Jahr k beträgt die Restschuld
[math]\displaystyle{ K(k)=K(0) \cdot q^k-A \cdot \frac{q^k-1}{q-1} }[/math]
Das entspricht der Differenz aus dem aufgezinsten Kredit und dem bis dahin gezahlten Betrag.
Zusammenhang zur Rentenrechnung
Die Formel für die Annuitätentilgung entspricht der Formel zur Berechnung des nachschüssigen Rentenbarwerts, [math]\displaystyle{ R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n} }[/math]. Der nachschüssige Rentenbarwert entspricht also dem Kredit und die Annuität entspricht der Rente.
Beispiel
Es wird ein Kredit in Höhe von 10.000 € zu einem Zinsen von 8,25 % aufgenommen. Der Kredit soll über vier Jahre getilgt werden.
Es gilt [math]\displaystyle{ K(0)=10.000 }[/math], [math]\displaystyle{ q=1,0825 }[/math], [math]\displaystyle{ n=4 }[/math].
Die Annuität berechnet sich durch [math]\displaystyle{ A=10.000 \cdot \frac{(1,0825-1)\cdot 1,0825^4}{1,0825^4-1} \approx 3.036,03 }[/math] €.
Der Tilgungsplan sieht wie folgt aus:
| Jahr | Schuld zu Jahresbeginn in € | Zinsen in € | Tilgung in € | Restschuld am Jahresende in € |
|---|---|---|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ K(0)=10.000 }[/math] | [math]\displaystyle{ Z(1)=10.000\cdot 0,0825=825 }[/math] | [math]\displaystyle{ T(1)=3.036,03-825=2.211,03 }[/math] | [math]\displaystyle{ K(1)=10.000-2.221,03=7.788,97 }[/math] |
| 2 | 7.788,97 | 642,59 | 2.393,44 | 5.395,54 |
| 3 | 5.395,54 | 445,13 | 2.590,89 | 2.804,64 |
| 4 | 2.804,64 | 231,38 | 2804,64 | 0 |
Die Restschuld am Ende von Jahr [math]\displaystyle{ k=3 }[/math] lässt sich auch direkt [math]\displaystyle{ K(3)=10.000 \cdot 1,0825^3- 3.036,03 \cdot \frac{1,0825^3-1}{1,0825-1} \approx 2.804,64 }[/math]€ berechnen.
Der Tilgungsanteil für Jahr 3 berechnet sich durch [math]\displaystyle{ T(3)=2.211,03 \cdot 1,0825^{3-1} \approx 2590.89 }[/math]€. Damit beträgt der Zinsanteil [math]\displaystyle{ Z(1)=3036,03-2590.89=445,13 }[/math]€.