Rentenrechnung
Bei der Rentenrechnung werden jährlich gleichhohen Beträge auf ein Konto eingezahlt und für eine bestimmte Laufzeit jährlich verzinst.
Rente
Werden in regelmäßigen Abständen gleichhohe Ein- oder Auszahlungen vorgenommen, spricht man von einer Rente. Wir untersuchen in der Regel nur jährliche Zahlungen.
Nachschüssige und vorschüssige Rentenwerte
Eine Rente heißt nachschüssig, falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{R}^{\geq 0} }[/math] zu Jahresende gezahlt werden. Eine Rente heißt vorschüssig, falls regelmäßige Zahlungen vom Betrag [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{R}^{\geq 0} }[/math] zu Jahresanfang gezahlt werden.
Für [math]\displaystyle{ n }[/math] Raten der Höhe [math]\displaystyle{ r }[/math], einem Jahreszins von [math]\displaystyle{ p }[/math] und [math]\displaystyle{ q=1+p }[/math] ist
- [math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1} }[/math]´der nachschüssige Rentenendwert.
- [math]\displaystyle{ R_v\left(n\right)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1} }[/math] der vorschüssige Rentenendwert.
- [math]\displaystyle{ R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n} }[/math] der nachschüssige Rentenbarwert.
- [math]\displaystyle{ R_v\left(0\right)=\frac{R_v\left(n\right)}{q^n}=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n} }[/math] der vorschüssige Rentenbarwert.
Definition
Bei der Rentenrechnung ermitteln wir je nach Problemstellung die Größen Rente, Zinssatz, Laufzeit und vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwert bzw. Rentenbarwert.
Beispiele
Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr 0 keine Zinsen, sondern nur für die darauffolgenden 5 Jahre. Die letzte Rate wird gar nicht verzinst, weil diese am Ende der Laufzeit eingezahlt wird.
Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenendwert berechnen
| Jahr | Rate r in € nachschüssig | Endkapital am Ende der 6 Jahre in € |
|---|---|---|
| 0 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(5\right)=5000\cdot{1,06}^5\approx6.691,13 }[/math] |
| 1 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(4\right)=5000\cdot{1,06}^4\approx6.312,38 }[/math] |
| 2 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(3\right)=5000\cdot{1,06}^3=5.955,08 }[/math] |
| 3 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(2\right)=5000\cdot{1,06}^2=5.618,00 }[/math] |
| 4 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(1\right)=5000\cdot{1,06}^1=5.300,00 }[/math] |
| 5 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(0\right)=5.000,00 }[/math] |
Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen nachschüssigen Rentenendwert von [math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ }[/math]€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen:
[math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)=5000\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx34.876,59 }[/math]
Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr 0 ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall
[math]\displaystyle{ R_v\left(6\right)\approx34.876,59\ \cdot1,06\ \approx36.969,19 }[/math]
bzw.
[math]\displaystyle{ R_v\left(6\right)=5000\cdot1,06\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx36.969,19 }[/math]
Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenbarwert berechnen
Den nach- bzw. vorschüssigen Rentenbarwert in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen:
[math]\displaystyle{ R_n\left(0\right)\approx\frac{34.876,59}{{1,06}^6}\approx24.586,62 }[/math]
bzw.
[math]\displaystyle{ R_v\left(0\right)\approx\frac{36.969,19\ \ }{{1,06}^6}\approx26.061,82 }[/math]
Rate berechnen
Damit wir die Rate r zu [math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)=34.876,59 }[/math] und [math]\displaystyle{ q=1,06 }[/math] berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um:
[math]\displaystyle{ R_n(n)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ |:\frac{q^n-1}{q-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ r=R_n\left(n\right)\cdot\frac{q-1}{q^n-1} }[/math]
und setzen die oberen Werte ein:
[math]\displaystyle{ r=34.876,59\ \cdot\frac{1,06-1}{{1,06}^6-1}\ \approx5.000 }[/math]
Alternativ können die gegebenen Werte direkt in die Formel eingesetzt werden. Anschließend wird nach [math]\displaystyle{ r }[/math] umgeformt.
Laufzeit berechnen
Um die Laufzeit [math]\displaystyle{ n }[/math] zum nachschüssigen Rentenendwert [math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=34.876,59 }[/math] mit [math]\displaystyle{ q=1,06 }[/math] und [math]\displaystyle{ r=5.000 }[/math] zu ermitteln, verwenden wir die Tabellenfunktion des Taschenrechners und geben die Formel ein.
In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert [math]\displaystyle{ R_n(6)\approx 34.876,59 }[/math] beträgt.
Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel
Wir zinsen die Raten bis zum Zeitpunkt n auf und Formen die resultierende Formel geschickt um:
[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot q^{n-1}+r\cdot q^{n-2}+\ldots+r\ |\ \cdot q }[/math]
[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)\cdot q=r\cdot q^n+r\cdot q^{n-1}+\ldots+r\cdot q^1\ }[/math]
[math]\displaystyle{ R_n(n)\cdot q-R_n(n)=r\cdot q^n-r R_n(n)\cdot(q-1)=r\cdot(q^n-1)\ | : (q-1) }[/math]
[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1} }[/math]