Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen haben die Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] und spielen insbesondere in Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle. Dazu gehören der Zinseszinseffekt, der Bevölkerungswachstum oder die Ausbreitung von Infektionskrankheiten.
Definition
Eine Funktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] mit [math]\displaystyle{ a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1 }[/math] heißt allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a. [math]\displaystyle{ c }[/math] ist der y-Achsenabschnitt.
Eigenschaften der Exponentialfunktion
Gegeben sei eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a.
- Gilt [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] ist der Graph streng monoton steigend und eine Linkskurve. Wir nennen das positives Wachstum.
- Gilt [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] ist der Graph streng monoton fallend und eine Linkskurve. Wir nennen das negatives Wachstum.
- Gilt [math]\displaystyle{ c\lt 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] ist der Graph streng monoton steigend und eine Rechtskurve.
- Gilt [math]\displaystyle{ c\lt 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] ist der Graph streng monoton fallend und eine Rechtskurve.
Nullstellen
Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis [math]\displaystyle{ a }[/math] der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] mit [math]\displaystyle{ a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1 }[/math] hat keine Nullstellen.
Spiegelbildliche Exponentialfunktionen
Die Exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ f_1(x)=c \cdot a^x }[/math] und [math]\displaystyle{ f_2(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x }[/math] mit [math]\displaystyle{ a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1 }[/math] sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.
Erweiterte Form
Eine Funktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x+d }[/math] mit [math]\displaystyle{ a,~c,~d \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1 }[/math] heißt erweiterte Exponentialfunktion. Die Gerade [math]\displaystyle{ y=d }[/math] bezeichnen wir als Asymptote. Der y-Achsenabschnitt ist [math]\displaystyle{ c+d }[/math].
Beispiele
Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen
Wir betrachten die Exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ f_1(x)=4^x,~f_2(x)=6^x,~f_3(x)=0,7^x,~f_4(x)=0,3^x }[/math]. Die Basis für die Funktion [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] ist [math]\displaystyle{ a=4 }[/math], für jede der Funktionen gilt [math]\displaystyle{ c=1 }[/math].
Der y-Achsenabschnitt der Funktion [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] wird durch [math]\displaystyle{ f_1(0)=4^0=1 }[/math] berechnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse beträgt [math]\displaystyle{ S_y(0|1) }[/math].
Die Graphen der Funktionen [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ f_2 }[/math] zeigen positives Wachstum. Die Graphen der Funktionen [math]\displaystyle{ f_3 }[/math] und [math]\displaystyle{ f_4 }[/math] zeigen negatives Wachstum.
Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren
Wir betrachten die Exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ f_5(x)=5 \cdot 3^x,~f_6(x)=0,2\cdot 3^x,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^x }[/math]. Für die y-Achsenabschnitte gilt [math]\displaystyle{ f_5(0)=5 \cdot 3^0=5,~f_6(0)=0,2\cdot 3^0=0,2,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^0=-3,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^0=-4 }[/math]. Die Schnittpunkte mit der y-Achse lassen sich in den Graphen ablesen. Beispielsweise ist für [math]\displaystyle{ f_5 }[/math] der Schnittpunkt mit der y-Achse [math]\displaystyle{ S_y(0|5) }[/math].
Die Nullstelle von [math]\displaystyle{ f_5 }[/math] wird durch
[math]\displaystyle{ f_5(x)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 \cdot 3^x=0 }[/math]
berechnet. Es [math]\displaystyle{ 5 \cdot 3^x \neq 0 }[/math] für jedes [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math]. Daher hat [math]\displaystyle{ f_5 }[/math] keine Nullstellen.
Spiegelbildliche Exponentialfunktionen
Die Graphen der Funktionen [math]\displaystyle{ f_9(x)=2^x }[/math] und [math]\displaystyle{ f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x }[/math] sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse.
Beschränkter Abnahmeprozess
Wir backen ein schmackhaftes Zwiebelbrot bei 210 °C und nehmen es anschließend aus dem Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 30-minütigen Abkühlungsprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x+d }[/math]. Dabei ist [math]\displaystyle{ t }[/math] in Minuten und [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] in °C angegeben.
Da der Abkühlungsprozess 30 Minuten andauert, ist der Definitionsbereich [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_f=[0;30] }[/math]. Temperaturmessungen des Zweibelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] die Temperatur 200 °C und zum Zeitpunkt [math]\displaystyle{ t=1 }[/math] die Temperatur 164 °C beträgt. Damit gilt
[math]\displaystyle{ f(0)=c\cdot a^0+20 }[/math]
[math]\displaystyle{ 200=c+20 }[/math]
[math]\displaystyle{ 180=c }[/math]
Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form [math]\displaystyle{ f(x)=180 \cdot a^x+20 }[/math]. Wir müssen die Basis [math]\displaystyle{ a }[/math] bestimmen:
[math]\displaystyle{ f(1)=180\cdot a^1+20 }[/math]
[math]\displaystyle{ 164=180 \cdot a +20 }[/math]
[math]\displaystyle{ 144=180 \cdot a }[/math]
[math]\displaystyle{ 0,8=a }[/math]
Die erweiterte Exponentialfunktion [math]\displaystyle{ f(t)=180\cdot 0,8^t+20 }[/math] modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. [math]\displaystyle{ y=20 }[/math] ist die Asymptote, da für alle [math]\displaystyle{ t \in \mathbb{D}_f }[/math] gilt, dass [math]\displaystyle{ 180\cdot 0,8^t\gt 0 }[/math] ist. Außerdem ist der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt [math]\displaystyle{ f }[/math] einen beschränkten Abnahmeprozess.