Vierfeldertafel
Die Vierfeldertafel wird neben dem Baumdiagramm zur tabellarischen und strukturierten Darstellung von Zufallsexperimenten und ihren Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet.
Definition
Eine Vierfeldertafel ist eine Übersicht, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen und ihren Gegenereignissen zu analysieren. Sie ermöglicht die schnelle Bestimmung von Schnittmengen und bildet die Basis für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Die Vierfeldertafel besteht im Kern aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. [math]\displaystyle{ A }[/math] und [math]\displaystyle{ B }[/math]) sowie deren Gegenereignisse ([math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math] und [math]\displaystyle{ \overline{B} }[/math]) abbilden. Zusätzlich werden an den Rändern die sogenannten Randwahrscheinlichkeiten (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse zu verdeutlichen.
Aufbau einer Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel hat bezüglich relativer Wahrscheinlichkeiten standardmäßig folgende Struktur:
| [math]\displaystyle{ B }[/math] | [math]\displaystyle{ \overline{B} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sum }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ A }[/math] | [math]\displaystyle{ P(A \cap B) }[/math] | [math]\displaystyle{ P(A \cap \overline{B}) }[/math] | [math]\displaystyle{ P(A) }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math] | [math]\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B) }[/math] | [math]\displaystyle{ P(\overline{A} \cap \overline{B}) }[/math] | [math]\displaystyle{ P(\overline{A}) }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \sum }[/math] | [math]\displaystyle{ P(B) }[/math] | [math]\displaystyle{ P(\overline{B}) }[/math] | 1 |
Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich stets aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.
Prüfungshinweis: Neben Wahrscheinlichkeiten können in eine Vierfeldertafel auch absolute Häufigkeiten (z. B. konkrete Personenanzahlen) eingetragen werden. In diesem Fall steht im Feld rechts unten nicht die `1`, sondern die Gesamtgröße der Stichprobe (z. B. 10.000 Personen). Wahrscheinlichkeiten und absolute Zahlen dürfen innerhalb einer Tabelle niemals gemischt werden!
Beispiele
Medizinischer Test
Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % korrekterweise als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit (Prävalenz).
Überträgt man diese Werte über die 1. Pfadregel in die Vierfeldertafel, sieht diese wie folgt aus:
| Test positiv ([math]\displaystyle{ T }[/math]) | Test negativ ([math]\displaystyle{ \overline{T} }[/math]) | Total | |
| Krank ([math]\displaystyle{ K }[/math]) | [math]\displaystyle{ 0,02 \cdot 0,95 = }[/math] 0,019 | [math]\displaystyle{ 0,02 \cdot 0,05 = }[/math] 0,001 | 0,02 |
| Gesund ([math]\displaystyle{ \overline{K} }[/math]) | [math]\displaystyle{ 0,98 \cdot 0,10 = }[/math] 0,098 | [math]\displaystyle{ 0,98 \cdot 0,90 = }[/math] 0,882 | 0,98 |
| Total | 0,117 | 0,883 | 1 |
Formale Berechnungen (aus der Tabelle abgeleitet):
Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist und positiv getestet wird (Schnittmenge):
- [math]\displaystyle{ P(K \cap T) = P(K) \cdot P_K(T) = 0,02 \cdot 0,95 = 0,019 }[/math]
Totale Wahrscheinlichkeit, dass der Test (ungeachtet des Gesundheitszustands) positiv ausfällt (Spaltensumme):
- [math]\displaystyle{ P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 }[/math]
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich krank ist, unter der Vorbedingung, dass der Test positiv ist:
- [math]\displaystyle{ P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,1624 \approx 16,2\,\% }[/math]