Stammfunktion

Eine Funktion zu der die Ableitung gebildet wurde, heißt Stammfunktion. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte (bestimmte Integrale) ermittelt, die sich zwischen dem Graphen der dazugehörigen Ableitungsfunktion und der x-Achse befinden.

Definition

Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] auf einem Intervall [math]\displaystyle{ [a; b] \subseteq \mathbb{R} }[/math] definiert und gibt es eine Funktion [math]\displaystyle{ F }[/math], sodass für alle [math]\displaystyle{ x }[/math] aus diesem Intervall [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x) }[/math] gilt, dann wird [math]\displaystyle{ F }[/math] als eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math] bezeichnet. Die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] heißt dabei die Ableitung von [math]\displaystyle{ F }[/math].

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist die Menge aller Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math], welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R} }[/math] dargestellt werden können

[math]\displaystyle{ \int f(x) dx = F(x) + C }[/math].

Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] und der x-Achse im Intervall [math]\displaystyle{ [0;x] }[/math] wird durch den Funktionswert einer Flächeninhaltsfunktion [math]\displaystyle{ A }[/math] ermittelt.

Es sei [math]\displaystyle{ F }[/math] die Stammfunktion zu einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit der Konstanten [math]\displaystyle{ C=0 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ F }[/math] die Flächeninhaltsfunktion zu [math]\displaystyle{ f }[/math].

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] auf dem Intervall [math]\displaystyle{ [a; b] }[/math] entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse im gegebenen Intervall.

Falls [math]\displaystyle{ F }[/math] eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist, so wird das bestimmte Integral durch die folgende Gleichung

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) }[/math]

berechnet.

Hierbei bezeichnet [math]\displaystyle{ a }[/math] die untere und [math]\displaystyle{ b }[/math] die obere Grenze des Integrals. Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an, das heißt:

• Liegt der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] oberhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt positiv.
• Liegt der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] unterhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt negativ.

Integrationsregeln

Es sei [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math]. Die Stammfunktion [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] wird mit den folgenden Regeln ermittelt:

Potenzregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \neq -1 }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ \int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math].

Faktorregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = c \cdot g(x) }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R} }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ \int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx }[/math].

Summenregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) + h(x) }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ \int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx }[/math].

Beispiele

Potenzregel anwenden

Die Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math] lautet: [math]\displaystyle{ \int (x^3) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C }[/math].

Faktor- und Summenregel anwenden

Für [math]\displaystyle{ h(x) = 2x^2 + 3x^3 }[/math] ergibt sich: [math]\displaystyle{ \int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2 , dx + \int 3x^3 , dx }[/math]. Berechnung: [math]\displaystyle{ \int (2x^2) dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{2x^3}{3} }[/math], [math]\displaystyle{ \int (3x^3) dx = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{3x^4}{4} }[/math]. Zusammen ergibt sich: [math]\displaystyle{ \int (2x^2 + 3x^3) dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C }[/math].