Natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] mit der Basis [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math]. Viele Phänomene aus der Natur werden mit Hilfe der e-Funktion modelliert. Außerdem gilt für die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math].

Euler'sche Zahl e

Die Euler'sche Zahl ist [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math].

Herleitung der Euler'schen Zahl e

Wir verwenden, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math] durch [math]\displaystyle{ f'(x)=ca^x }[/math] gegeben ist. Wir setzen [math]\displaystyle{ c=1 }[/math] und ermitteln eine Basis [math]\displaystyle{ a }[/math], so dass [math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math] die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=a^x }[/math] hat:

[math]\displaystyle{ c=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{a^h-1}{h} \approx 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ a^h-1 \approx h }[/math]

[math]\displaystyle{ a^h \approx h+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ a \approx \sqrt[h]{h+1} }[/math]

Lassen wir [math]\displaystyle{ h }[/math] gegen 0 laufen, erhalten wir [math]\displaystyle{ a \approx 2,71828... }[/math]. Dies ist die Euler'sche Zahl [math]\displaystyle{ e }[/math].

Definition

Die Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R} }[/math] der Form [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] mit der Euler'schen Zahl [math]\displaystyle{ e }[/math] heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math].