Natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] mit der Basis [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math]. Viele Phänomene aus der Natur werden mit Hilfe der e-Funktion modelliert. Außerdem gilt für die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math].

Euler'sche Zahl e

Die Euler'sche Zahl ist [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math].

Herleitung der Euler'schen Zahl e

Wir verwenden, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math] durch [math]\displaystyle{ f'(x)=ca^x }[/math] gegeben ist. Wir setzen [math]\displaystyle{ c=1 }[/math] und ermitteln eine Basis [math]\displaystyle{ a }[/math], so dass [math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math] die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=a^x }[/math] hat:

[math]\displaystyle{ c=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{a^h-1}{h} \approx 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ a^h-1 \approx h }[/math]

[math]\displaystyle{ a^h \approx h+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ a \approx \sqrt[h]{h+1} }[/math]

Lassen wir [math]\displaystyle{ h }[/math] gegen 0 laufen, erhalten wir [math]\displaystyle{ a \approx 2,71828... }[/math]. Dies ist die Euler'sche Zahl [math]\displaystyle{ e }[/math].

Definition

Die Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R} }[/math] der Form [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] mit der Euler'schen Zahl [math]\displaystyle{ e }[/math] heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math].

Erweiterte Form

Eine Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R} }[/math] der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot e^{\lambda x}+d }[/math] mit [math]\displaystyle{ a,~c,~d,~\lambda \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1 }[/math] heißt erweiterte e-Funktion. .

Beispiele

Graphen von e-Funktionen

Graphen von [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math],[math]\displaystyle{ f_1(x)=e^{2x} }[/math], [math]\displaystyle{ f_2(x)=e^{x+2} }[/math], [math]\displaystyle{ f_3(x)=-e^x }[/math], [math]\displaystyle{ f_4(x)=(-2x^2+3)e^x-4 }[/math]

Auf der rechten Seite sehen wir die Graphen einer e-Funktion und von e-Funktionen in erweiterter Form. [math]\displaystyle{ f }[/math] zeigt die e-Funktion. [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] verläuft im Vergleich zu [math]\displaystyle{ f }[/math] steiler. Schiebt man [math]\displaystyle{ f }[/math] um zwei Stellen nach rechts, erhält man [math]\displaystyle{ f_2 }[/math]. Wird [math]\displaystyle{ f }[/math] an der x-Achse gespiegelt, erhalten wir [math]\displaystyle{ f_3 }[/math]. [math]\displaystyle{ f_4 }[/math] entsteht aus [math]\displaystyle{ f }[/math], indem der Graph abschnittsweise die Form des Polynoms [math]\displaystyle{ -2x^2+3 }[/math] annimmt und für [math]\displaystyle{ x }[/math] gegen [math]\displaystyle{ - \infty }[/math] [math]\displaystyle{ y=4 }[/math] als Asymptote hat.

Ableitungen von e-Funktionen

Wir bilden die Ableitungen von [math]\displaystyle{ f,g,h }[/math]:

• [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]
  • [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math]
  • [math]\displaystyle{ f''(x)=e^x }[/math]
• [math]\displaystyle{ g(x)=e^x-3x^2+3 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ g'(x)=e^x-6x }[/math]
  • [math]\displaystyle{ g''(x)=e^x-6 }[/math]
• [math]\displaystyle{ h(x)=(-2)e^x-3x^4+3x }[/math]
  • [math]\displaystyle{ h'(x)=(-2)e^x-12x^3+3 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ h''(x)=e^x-36x^2 }[/math]