Produktregel

Die Produktregel ist wie die Kettenregel eine Regel zum Ableiten von Funktionen. Die Quotientenregel ist das Anwenden der Produktregel auf eine Funktion der Form $f(x)=u(x)v(x{)}^{-1}$.

Definition

Sind $u:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ und $v:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ differenzierbare Funktionen, so ist auch

$f(x)=u(x)\cdot v(x)$ für alle $x\in \mathbb{D}$

differenzierbar. Für die Ableitung von $f$ gilt

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

Beweis der Produktregel

Wir leiten die Funktion $f:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ mit der Funktionsvorschrift $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ ab.

Ableitung durch Grenzwert des Differenzenquotienten ausdrücken:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Da $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, setzen wir das in den Differenzenquotienten ein:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(x_0+h)\cdot v(x_0+h)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{h}$

Nun erweitern wir den Ausdruck durch geschicktes Hinzufügen und Subtrahieren eines Terms, um den Differenzenquotienten in zwei Teile aufzuteilen:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(x_0+h)\cdot v(x_0+h)-u(x_0)\cdot v(x_0+h)+u(x)\cdot v(x_0+h)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{h}$

Das kann weiter umgeschrieben werden zu:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}(\frac{[u(x_0+h)-u(x_0)]\cdot v(x_0+h)}{h}+\frac{u(x_0)\cdot [v(x_0+h)-v(x_0)]}{h})$

Nun können wir die Grenzwerte einzeln betrachten: - Der erste Term wird zu $u^{\prime }(x_0)\cdot v(x_0)$, weil $\underset{h\to 0}{lim}v(x_0+h)=v(x_0)$. - Der zweite Term wird zu $u(x_0)\cdot v^{\prime }(x_0)$.

Damit erhalten wir die Produktregel: $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

Quotientenregel

Sind $u:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ und $v:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ differenzierbare Funktionen, so ist

$g(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ für alle $x\in \mathbb{D}$ und $v(x)\ne 0$

differenzierbar. Für die Ableitung von $g$ gilt

$g^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}$

Beispiele

Produktregel anwenden

Gegeben seien die Funktionen $u(x)=2x$ und $v(x)=x^2$. Wir suchen die Ableitung der Funktion $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Nach der Produktregel gilt: $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$.

Berechnen wir die Ableitungen: $u^{\prime }(x)=2$ und $v^{\prime }(x)=2x$.

Einsetzen ergibt: $f^{\prime }(x)=2\cdot x^2+2x\cdot 2x=2x^2+4x^2=6x^2$.

Quotientenregel anwenden

Gegeben seien die Funktionen $u(x)=x^2$ und $v(x)=2x$ mit $v(x)\ne 0$. Wir suchen die Ableitung der Funktion $g(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$.

Nach der Quotientenregel gilt: $g^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}$.

Berechnen wir die Ableitungen: $u^{\prime }(x)=2x$ und $v^{\prime }(x)=2$.

Einsetzen ergibt: $g^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot 2x-x^2\cdot 2}{(2x{)}^2}=\frac{4x^2-2x^2}{4x^2}=\frac{2x^2}{4x^2}=\frac{1}{2}$.