Produktregel

Die Produktregel ist wie die Kettenregel eine Regel zum Ableiten von Funktionen. Die Quotientenregel ist das Anwenden der Produktregel auf eine Funktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=u(x)v(x)^{-1} }[/math].

Definition

Sind [math]\displaystyle{ u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] differenzierbare Funktionen, so ist auch

[math]\displaystyle{ f(x) = u(x)\cdot v(x) }[/math] für alle [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{D} }[/math]

differenzierbar. Für die Ableitung von [math]\displaystyle{ f }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) }[/math]

Beweis der Produktregel

Wir leiten die Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit der Funktionsvorschrift [math]\displaystyle{ f(x)=u(x) \cdot v(x) }[/math] ab.

Ableitung durch Grenzwert des Differenzenquotienten ausdrücken:

[math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} }[/math]

Da [math]\displaystyle{ f(x) = u(x) \cdot v(x) }[/math], setzen wir das in den Differenzenquotienten ein:

[math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) \cdot v(x_0 + h) - u(x_0) \cdot v(x_0)}{h} }[/math]

Nun erweitern wir den Ausdruck durch geschicktes Hinzufügen und Subtrahieren eines Terms, um den Differenzenquotienten in zwei Teile aufzuteilen:

[math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) \cdot v(x_0 + h) - u(x_0) \cdot v(x_0 + h) + u(x) \cdot v(x_0 + h) - u(x_0) \cdot v(x_0)}{h} }[/math]

Das kann weiter umgeschrieben werden zu:

[math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{[u(x_0 + h) - u(x_0)] \cdot v(x_0 + h)}{h} + \frac{u(x_0) \cdot [v(x_0 + h) - v(x_0)]}{h} \right) }[/math]

Nun können wir die Grenzwerte einzeln betrachten: - Der erste Term wird zu [math]\displaystyle{ u'(x_0) \cdot v(x_0) }[/math], weil [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} v(x_0 + h) = v(x_0) }[/math]. - Der zweite Term wird zu [math]\displaystyle{ u(x_0) \cdot v'(x_0) }[/math].

Damit erhalten wir die Produktregel: [math]\displaystyle{ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) }[/math]

Quotientenregel

Sind [math]\displaystyle{ u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] differenzierbare Funktionen, so ist

[math]\displaystyle{ g(x) = \frac{u(x)}{v(x)} }[/math] für alle [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{D} }[/math] und [math]\displaystyle{ v(x) \neq 0 }[/math]

differenzierbar. Für die Ableitung von [math]\displaystyle{ g }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ g'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} }[/math]

Beispiele

Produktregel anwenden

Gegeben seien die Funktionen [math]\displaystyle{ u(x) = 2x }[/math] und [math]\displaystyle{ v(x) = x^2 }[/math]. Wir suchen die Ableitung der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = u(x) \cdot v(x) }[/math].

Nach der Produktregel gilt: [math]\displaystyle{ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) }[/math].

Berechnen wir die Ableitungen: [math]\displaystyle{ u'(x) = 2 }[/math] und [math]\displaystyle{ v'(x) = 2x }[/math].

Einsetzen ergibt: [math]\displaystyle{ f'(x) = 2 \cdot x^2 + 2x \cdot 2x = 2x^2 + 4x^2 = 6x^2 }[/math].

Quotientenregel anwenden

Gegeben seien die Funktionen [math]\displaystyle{ u(x) = x^2 }[/math] und [math]\displaystyle{ v(x) = 2x }[/math] mit [math]\displaystyle{ v(x) \neq 0 }[/math]. Wir suchen die Ableitung der Funktion [math]\displaystyle{ g(x) = \frac{u(x)}{v(x)} }[/math].

Nach der Quotientenregel gilt: [math]\displaystyle{ g'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} }[/math].

Berechnen wir die Ableitungen: [math]\displaystyle{ u'(x) = 2x }[/math] und [math]\displaystyle{ v'(x) = 2 }[/math].

Einsetzen ergibt: [math]\displaystyle{ g'(x) = \frac{2x \cdot 2x - x^2 \cdot 2}{(2x)^2} = \frac{4x^2 - 2x^2}{4x^2} = \frac{2x^2}{4x^2} = \frac{1}{2} }[/math].