Kettenregel

Die Kettenregel ist wie die Produktregel eine Regel zum Ableiten von Funktionen.

Definition

Sind [math]\displaystyle{ u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] differenzierbare Funktionen, so ist auch

[math]\displaystyle{ f(x) = u(v(x)) }[/math] für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{D} }[/math]

differenzierbar. Für die Ableitung von [math]\displaystyle{ f }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x). }[/math]

Beweis der Kettenregel

Wir leiten die Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit der Funktionsvorschrift [math]\displaystyle{ f(x)=u(v(x)) }[/math] ab.

Ableitung durch Grenzwert des Differenzenquotienten ausdrücken:

[math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} }[/math]

Da [math]\displaystyle{ f(x) = u(v(x)) }[/math], setzen wir dies in den Differenzenquotienten ein:

[math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{h} }[/math]

Nun erweitern wir durch [math]\displaystyle{ v(x_0 + h) - v(x_0) }[/math], um die Kettenregel herleiten zu können:

[math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} \cdot \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \right) }[/math]

Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von [math]\displaystyle{ u }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ v(x_0) }[/math], der zweite der Differenzenquotient von [math]\displaystyle{ v }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt:

• Der erste Term wird zu [math]\displaystyle{ u'(v(x_0)) }[/math], da [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} = u'(v(x_0)) }[/math].
• Der zweite Term wird zu [math]\displaystyle{ v'(x_0) }[/math], weil dies der Differenzenquotient von [math]\displaystyle{ v }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ist.

Damit erhalten wir die Kettenregel:

[math]\displaystyle{ f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) }[/math]

Beispiele

Kettenregel anwenden

Gegeben seien die Funktionen [math]\displaystyle{ u(x) = x^3 }[/math] und [math]\displaystyle{ v(x) = x^2 + 1 }[/math]. Wir suchen die Ableitung der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = u(v(x)) = (x^2 + 1)^3 }[/math].

Nach der Kettenregel gilt: [math]\displaystyle{ f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) }[/math].

Berechnen wir die Ableitungen: [math]\displaystyle{ u'(v(x)) = 3(v(x))^2 = 3(x^2 + 1)^2 }[/math] und [math]\displaystyle{ v'(x) = 2x }[/math].

Einsetzen ergibt: [math]\displaystyle{ f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 }[/math].

Ketten- und Produktregel anwenden

Gegeben seien die Funktionen [math]\displaystyle{ u(x) = (x^3 + 2x)^4 }[/math] und [math]\displaystyle{ v(x) = e^x }[/math]. Wir suchen die Ableitung der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = u(x) \cdot v(x) = (x^3 + 2x)^4 \cdot e^x }[/math].

Nach der Produktregel gilt: [math]\displaystyle{ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) }[/math].

Zunächst wenden wir die Kettenregel auf [math]\displaystyle{ u(x) }[/math] an: [math]\displaystyle{ u(x) = (x^3 + 2x)^4 }[/math] Nach der Kettenregel: [math]\displaystyle{ u'(x) = 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2) }[/math].

Für [math]\displaystyle{ v(x) }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ v'(x) = e^x }[/math].

Einsetzen in die Produktregel ergibt: [math]\displaystyle{ f'(x) = [4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2)] \cdot e^x + (x^3 + 2x)^4 \cdot e^x }[/math].

Faktorisiertes Ergebnis: [math]\displaystyle{ f'(x) = e^x \cdot \left[ 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2) + (x^3 + 2x)^4 \right] }[/math].