Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Zufallsexperiment ordnet den Ergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zu. Sie wird häufig durch ein Histogramm visualisiert.

Definition

Es sei $S=\{e_1;...;e_n\}$ die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und $A$ ein Ereignis. Die Zahlen $P\left(e_i\right)$ mit

1. $0\le P(e_i)\le 1$ für alle $i\in \mathbb{N}$ mit $1\le i\le n$

2. $P\left(S\right)=P\left(e_1\right)+\dots +P\left(e_n\right)=1$

3. $P(A)=P(e_1)+P(e_2)+...+P(e_m)$ mit $e_1,e_2,...,e_m\in A$

nennt man die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $e_i$ für $i,n\in \mathbb{N}$ mit $1\le i\le n$. Die Zuordnung $e_i\mapsto P\left(e_i\right)$ heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten

Es sei $X$ eine Zufallsvariable und $k\in \mathbb{N}$. Es gelten die folgenden Konventionen:

• $P(X=k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert $k$ annimmt.
• $P(X\le k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $k$ annimmt.
• $P(X<k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner $k$ annimmt.
• $P(X\ge k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich $k$ annimmt.
• $P(X>k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer $k$ annimmt.

Außerdem gilt

• $P(X\le k)=1-P(X>k)$
• $P(X\ge k)=1-P(X<k)$
• $P(X\ge k)=1-P(X\le k)+P(X=k)$

Wahrscheinlichkeiten für Mengen berechnen

Für ein Zufallsexperiment sei $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und $A,B$ seien Ereignisse. Dann gilt:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

und

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Beispiele

Wahrscheinlichkeitsverteilung einfacher Münzwurf

Beim Münzwurf gilt beispielsweise $Kopf\mapsto \frac{1}{2}$ und $Zahl\mapsto \frac{1}{2}$. Die Zuordnung wird oft als Tabelle dargestellt:

Ergebnis $e_i$	Wahrscheinlichkeit $P(e_i)$
Kopf	$\frac{1}{2}$
Zahl	$\frac{1}{2}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung einmaliger Wurf eines Würfels

Die Zufallsvariable $X$ gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet $X=3$, dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch $P(X=k)=\frac{1}{6}$ mit $k\in \{1;...;6\}$ gegeben.