Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Definition== | ==Definition== | ||
Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. | Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. | ||
<math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''. Der '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' ist <math>S_y(0|c)</math>. Gilt <math>a>1</math> und <math>c>0</math> steigt der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton]] an. Wir nennen das '''positives Wachstum'''. Gilt <math>0<a<1</math> und <math>c>0</math> fällt der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton]]. Wir nennen das '''negatives Wachstum'''. | <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''. Der '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' ist <math>S_y(0|c)</math>. Gilt <math>a>1</math> und <math>c>0</math> steigt der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton]] an. Wir nennen das '''positives Wachstum'''. Gilt <math>0<a<1</math> und <math>c>0</math> fällt der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton]]. Wir nennen das '''negatives Wachstum'''. | ||
==Nullstellen== | ==Nullstellen== | ||
Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> hat keine Nullstellen. | Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1</math> hat keine Nullstellen. | ||
==Spiegelbildliche Exponentialfunktionen== | ==Spiegelbildliche Exponentialfunktionen== | ||
Die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=c \cdot a^x</math> und <math>f_2(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x</math> mit <math>c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander. | Die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=c \cdot a^x</math> und <math>f_2(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander. | ||
==Erweiterte Form== | |||
Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> ist die Asymptote. | |||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
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[[Datei:ExponentialfunktionSpiegelbildlich.png|mini|Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math>]] | [[Datei:ExponentialfunktionSpiegelbildlich.png|mini|Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math>]] | ||
Die Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse. | Die Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse. | ||
==Beschränkter Abnahmeprozess== | |||
==Beschränktes Wachstum== | |||
[[Kategorie:Mathematische Funktion]] | [[Kategorie:Mathematische Funktion]] | ||
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | ||