Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen haben die Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] und spielen insbesondere in Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle. Dazu gehören der Zinseszinseffekt, der Bevölkerungswachstum oder die Ausbreitung von Infektionskrankheiten.

Definition

Eine Funktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1 }[/math] heißt allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a.

[math]\displaystyle{ c }[/math] ist der y-Achsenabschnitt. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [math]\displaystyle{ S_y(0|c) }[/math]. Gilt [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] und [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] steigt der Graph streng monoton an. Wir nennen das positives Wachstum. Gilt [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] und [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] fällt der Graph streng monoton. Wir nennen das negatives Wachstum.

Nullstellen

Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis [math]\displaystyle{ a }[/math] der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1 }[/math] hat keine Nullstellen.

Spiegelbildlich

Die Exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] und [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1 }[/math] sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.

Beispiele

Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen

Graphen der Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen

Wir betrachten die Exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ f_1(x)=4^x,~f_2(x)=6^x,~f_3(x)=0,7^x,~f_4(x)=0,3^x }[/math]. Die Basis für die Funktion [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] ist [math]\displaystyle{ a=4 }[/math], für jede der Funktionen gilt [math]\displaystyle{ c=1 }[/math].

Der y-Achsenabschnitt der Funktion [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] wird durch [math]\displaystyle{ f_1(0)=4^0=1 }[/math] berechnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse beträgt [math]\displaystyle{ S_y(0|1) }[/math].

Die Graphen der Funktionen [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ f_2 }[/math] zeigen positives Wachstum. Die Graphen der Funktionen [math]\displaystyle{ f_3 }[/math] und [math]\displaystyle{ f_4 }[/math] zeigen negatives Wachstum.

Die Nullstelle von [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ f_1(x)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 4^x=0 }[/math]

berechnet. Es [math]\displaystyle{ 4^x \neq 0 }[/math] für jedes [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math]. Daher hat [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] keine Nullstellen.

Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren

Die quadratische Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=-2x^2+3x+5 }[/math] ist eine ganzrationale Funktion mit Grad [math]\displaystyle{ 2 }[/math] und den Koeffizienten [math]\displaystyle{ -2,3,5 }[/math].

Spiegelbildliche Exponentialfunktionen

Graphen der Funktionen [math]\displaystyle{ f_9(x)=2^x }[/math] und [math]\displaystyle{ f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x }[/math]

Die Graphen der Funktionen [math]\displaystyle{ f_9(x)=2^x }[/math] und [math]\displaystyle{ f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x }[/math] sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse.