Wahrscheinlichkeitsverteilung

Definition

Es sei $S=\{e_1;...;e_n\}$ die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und $A$ ein Ereignis. Die Zahlen $P\left(e_i\right)$ mit

1. $0\le P(e_i)\le 1$ für alle $i\in \mathbb{N}$ mit $1\le i\le n$

2. $P\left(S\right)=P\left(e_1\right)+\dots +P\left(e_n\right)=1$

3. $P\left(A\right)=\sum _{e\in A}P\left(e\right)$

nennt man die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $e_i$ für $i,n\in \mathbb{N}$ mit $1\le i\le n$. Die Zuordnung $e_i\mapsto P\left(e_i\right)$ heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten

Es sei X eine Zufallsvariable. Es gelten die folgenden Konventionen:

• $P(X=k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert k annimmt.
• $P(X\le k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich k annimmt.
• $P(X<k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner k annimmt.
• $P(X\ge k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich k annimmt.
• $P(X>k)$ bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer k annimmt.

Es gilt: $P(X\le k)=1-P(X>k),P(X\ge k)=1-P(X<k),P(X\ge k)=1-P(X\le k)+P(X=k)$

Beispiele

Wahrscheinlichkeitsverteilung einfacher Münzwurf

Beim Münzwurf gilt beispielsweise $Kopf\mapsto \frac{1}{2}$ und $Zahl\mapsto \frac{1}{2}$. Die Zuordnung wird oft als Tabelle dargestellt:

Ergebnis $e_i$	Wahrscheinlichkeit $P(e_i)$
Kopf	$\frac{1}{2}$
Zahl	$\frac{1}{2}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung einmaliger Wurf eines Würfels

Die Zufallsvariable $X$ gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet$X=3$, dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch $P(X=k)=\frac{1}{6}$ mit $k\in \{1;...;6\}$ gegeben.