Nullstelle

Nullstellen sind die $x$-Werte, bei denen der Graph die $x$-Achse schneidet oder berührt.

Definition

Die Nullstellen einer Funktion sind diejenigen Werte im Definitionsbereich, für die der Funktionswert gleich null ist. In einem Koordinatensystem entsprechen diese Werte den Schnitt- oder Berührungsstellen des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Eine Funktion $f:\mathbb{D}\to \mathbb{W}$ hat eine Nullstelle bei $x_0\in \mathbb{D}$, wenn $f(x_0)=0$ gilt.

Für eine Nachfragefunktion wird die positive Nullstelle auch Sättigungsmenge genannt.

Beispiele

Lineare Funktion

Nullstellenberechnung für die allgemeine Funktionsvorschrift

Für die lineare Funktion $f$ mit $f(x)=mx+b$

wird die Nullstelle berechnet, indem $f(x)=0$ eingesetzt und nach $x$ umgeformt wird:

$f(x)=mx+b$

$0=mx+b|-b$

$-b=mx|:m$

$-\frac{b}{m}=x$ ist die Nullstelle.

Nullstellenberechnung für eine konkrete Funktionsvorschrift

Graph zur Nullstelle $x=-\frac{1}{2}$ der Funktion $f(x)=2x+1$

Gegeben ist die lineare Funktion

$f(x)=2x+1$

Setzt man $f(x)=0$ ein, folgt

$0=2x+1|-1$

$-1=2x|:2$

$-\frac{1}{2}=x$ ist die Nullstelle.

Lineare Funktion ohne Nullstelle

Graph der Funktion $f(x)=0x+1$ die keine Nullstelle hat

Gegeben ist die lineare Funktion

$f(x)=0x+1$

Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:

$0=0x+1$

$0=1$

Das ist ein Widerspruch, da $0\ne 1$ ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am Graphen der Funktion, da dieser parallel zur $x$-Achse verläuft und damit keine Nullstellen hat.

Lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen

Graph von $f(x)=0x+0$ mit unendlich vielen Nullstellen

Gegeben ist die lineare Funktion

$f(x)=0x+0$

Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstellen, erhalten wir:

$0=0x+0$

$0=0$

Die Aussage ist wahr, also ist jeder $x$-Wert eine Nullstelle von $f$. Der Graph verläuft vollständig auf der x-Achse.

Quadratische Funktion

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ${f\left(x\right)=x}^2+px+q$ werden durch Auflösen der Gleichung $x^2+px+q=0$ nach $x$ ausgerechnet. Die Lösung der Gleichung wird mit der p-q-Formel, $x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$, berechnet. Es können keine, eine oder zwei Lösungen existieren.

pq-Formel anwenden

Graph der Funktion $f(x)=2x^2+8x+4$ mit Nullstellen

Wir betrachten ${f\left(x\right)=2x}^2+8x+4$. Wir rechnen

${2x}^2+8x+4=0|÷2$

$x^2+4x+2=0$

damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt $p=4$ und $q=2$. Diese Werte können wir einsetzen: $x_1=-\frac{4}{2}+\sqrt{{\left(\frac{4}{2}\right)}^2-2}=-2-\sqrt{2}\approx -3,41$ und $x_2=-\frac{4}{2}+\sqrt{{\left(\frac{4}{2}\right)}^2-2}=-2+\sqrt{2}\approx -0,59$

Also hat f die Nullstellen $x_1\approx -3,41$ und $x_2\approx -0,59$. Das sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet.

Beispiel Nullstellen ohne pq-Formel berechnen

Einige Nullstellen bzw. Lösungen von quadratischen Gleichungen können auch ohne p-q-Formel bestimmt werden:

Direktes Auflösen einer quadratischen Gleichung nach x:

$3{(x-5)}^2=27|÷3$

${(x-5)}^2=9|\sqrt{}$

$x-5=9\vee x-5=-9|+5$

$x=14\vee x=-4$

Produkt von Nullstellen:

$(x-8)(x+3)=0$

$x-8=0\vee x-3=0$

$x=8\vee x=3$

Direktes Auflösen nach x:

$7x^2-343=0|÷7$

$x^2-49=0|+49$

$x^2=49|\sqrt{}$

$x=7\text{ or }x=-7$

Herleitung p-q-Formel (nur zur Vertiefung)

Um die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ zu bestimmen, rechnet man:

$a{x}^2+bx+c=0$

$a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0$

$a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0$

$a{(x}^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)+c=0$

$a{(x+\frac{b}{2a})}^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+c=0$

$a(x+\frac{b}{2a})=\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{1}{a}{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}$

Gilt $a=1$, so erhält man:

$x=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}$