Laufzeitanalyse

Einführung

Asymptotische Annäherung einer Funktion

Die Laufzeitanalyse untersucht die Zeitkomplexität eines Algorithmus. Da die reale Ausführungszeit stark von der Hardwareausstattung des Zielsystems abhängt, wird für eine allgemeine, hardwareunabhängige Betrachtung die Anzahl der elementaren Befehle (Operationen) analysiert, die ein Algorithmus zur Lösung eines Problems benötigt. Diese Anzahl ist abhängig von der Größe der Eingabemenge, deren Umfang auch als Problemgröße (oft [math]\displaystyle{ n }[/math]) bezeichnet wird.

Für kleine Eingabemengen ist die Analyse häufig von geringerer Bedeutung, da auch ineffiziente Algorithmen hier oft ausreichend schnelle Ergebnisse liefern. Entscheidend ist die Betrachtung für sehr große Problemgrößen, insbesondere unter ungünstigen Startbedingungen. Hier spricht man von der asymptotischen Laufzeit. In Anlehnung an eine mathematische Asymptote beschreibt sie das Zeitverhalten des Algorithmus für eine potenziell unendlich wachsende Eingabemenge (z. B. eine theoretisch unendlich lange Zahlenfolge beim Sortieren).

Lässt sich die Laufzeit eines Algorithmus mathematisch durch eine Funktion beschreiben, wie beispielsweise: [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} + x }[/math]

So nähert sich die rot dargestellte Funktion [math]\displaystyle{ \color{red}{f(x)} }[/math] für große [math]\displaystyle{ x }[/math] der grün dargestellten Asymptote [math]\displaystyle{ \color{green}{g(x) = x} }[/math] an.

Die Laufzeit wird in Abhängigkeit von der Länge [math]\displaystyle{ n }[/math] der Eingabe angegeben und für immer größer werdende [math]\displaystyle{ n }[/math] asymptotisch unter Verwendung der Landau-Notation (Groß-O-Notation) abgeschätzt.

In der Praxis ist die Laufzeitanalyse essenziell, um entscheiden zu können, ob ein Programm bei stark anwachsenden Datenmengen noch performant und wirtschaftlich betrieben werden kann.

Abgrenzung

Es ist wichtig zu betonen, was die asymptotische Laufzeitanalyse nicht leistet: Sie misst nicht den tatsächlichen Zeitaufwand (in Sekunden) eines implementierten Algorithmus auf einem spezifischen Computer für eine konkrete, endliche Eingabemenge.

Szenarien der Laufzeitabschätzung

Man unterscheidet bei der Laufzeitabschätzung klassischerweise drei Varianten:

• Das Worst-Case-Szenario (schlechtester Fall): Beschreibt diejenige Datenanordnung, die zu einer maximalen Durchlaufzeit des Algorithmus führt. Dies entspricht der oberen Schranke des Problems.
• Das Average-Case-Szenario (durchschnittlicher Fall): Beschreibt eine zufällige Problemgröße und Datenanordnung, die zu einer mittleren (erwarteten) Durchlaufzeit führt.
• Das Best-Case-Szenario (bester Fall): Beschreibt diejenige Datenanordnung, die zu einer minimalen Durchlaufzeit führt (z. B. eine bereits vollständig sortierte Liste). Dies entspricht der unteren Schranke.

Beispiel: Laufzeitanalyse von Insertion Sort

Im Folgenden wird die Laufzeitanalyse beispielhaft anhand des Insertion Sorts (Sortieren durch Einfügen) durchgeführt. Wir betrachten eine mögliche Implementierung in der Programmiersprache Java. Der Algorithmus arbeitet mit einem Array als Datenstruktur und verwendet als Kontrollstrukturen Verzweigungen und Schleifen.

public void sortierenEinfuegen_MC() {
    int v, i, j;
    for (i = 1; i < zSortfeld.length; i++) {
        c++; // Zähler für Vergleiche
        if (zSortfeld[i] < zSortfeld[i - 1]) {
            v = zSortfeld[i];
            j = i;
            do {
                zSortfeld[j] = zSortfeld[j - 1];
                j--;
            } while ((j > 0) && (zSortfeld[j - 1] > v));
            zSortfeld[j] = v; 
        }
        printAnalyse(i);
    }
}

Wir analysieren nun die drei Szenarien für eine Liste mit [math]\displaystyle{ n }[/math] Elementen und betrachten zunächst den Zeitverbrauch für die durchzuführenden Vergleichsoperationen. Den konstanten Zeitverbrauch für einen einzelnen Vergleich bezeichnen wir allgemein mit [math]\displaystyle{ c }[/math].

1. Best-Case-Szenario (Bester Fall)

Ein Best-Case-Szenario liegt vor, wenn die Liste bereits aufsteigend sortiert ist, beispielsweise: [0, 2, 3, 5, 7, 11]

• Verhalten: Die äußere for-Schleife durchläuft das Array [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] Mal. Da das aktuell betrachtete Element stets größer oder gleich seinem Vorgänger ist, ist die Bedingung der if-Anweisung (zSortfeld[i] < zSortfeld[i - 1]) immer falsch. Die innere do-while-Schleife wird somit nie betreten.
• Aufwand: Es findet pro Durchlauf der äußeren Schleife exakt ein Vergleich statt. Der Gesamtaufwand lautet [math]\displaystyle{ c \cdot (n - 1) }[/math].
• Komplexität: Für sehr große [math]\displaystyle{ n }[/math] wächst der Aufwand linear zur Eingabemenge. Der Insertion Sort hat im Best-Case somit eine Zeitkomplexität von [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n) }[/math].

2. Worst-Case-Szenario (Schlechtester Fall)

Ein Worst-Case-Szenario liegt vor, wenn die Liste in genau umgekehrter (absteigender) Reihenfolge vorliegt, beispielsweise: [11, 7, 5, 3, 2, 0]

• Verhalten: Die if-Bedingung ist hier immer wahr. Das aktuell betrachtete Element muss in der inneren do-while-Schleife jedes Mal bis ganz an den Anfang des Arrays verschoben werden.
• Aufwand:

 * Beim ersten Durchlauf vergleichen wir nur die 7 mit der 11 (1 Vergleich). Aufwand: [math]\displaystyle{ c \cdot 1 }[/math].
 * Beim zweiten Durchlauf müssen wir das nächste Element mit den zwei bereits sortierten vergleichen. Aufwand: [math]\displaystyle{ c \cdot 2 }[/math].
 * Dies setzt sich fort bis zum letzten Durchlauf, der [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] Vergleiche erfordert. Aufwand: [math]\displaystyle{ c \cdot (n - 1) }[/math].

Der Gesamtaufwand für die Vergleiche entspricht einer arithmetischen Reihe (Gaußsche Summenformel): [math]\displaystyle{ c \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1)) = c \cdot \frac{(n - 1) \cdot n}{2} = \frac{c}{2}n^2 - \frac{c}{2}n }[/math]

Quadratisches Wachstum

Für die asymptotische Betrachtung extrem großer Werte von [math]\displaystyle{ n }[/math] verwerfen wir den langsamer wachsenden (niederwertigen) Term [math]\displaystyle{ \frac{c}{2}n }[/math] sowie die Konstante [math]\displaystyle{ \frac{c}{2} }[/math].

• Komplexität: Der Aufwand wächst quadratisch. Der Insertion Sort hat im Worst-Case somit eine Zeitkomplexität von [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^2) }[/math].

3. Average-Case-Szenario (Durchschnittlicher Fall)

Das Average-Case-Szenario geht von einer völlig zufälligen Verteilung der Werte im Array aus.

• Verhalten: Im Durchschnitt ist das betrachtete Element kleiner als die Hälfte der bereits sortierten Elemente. Die innere Schleife muss das Element also nicht bis ganz an den Anfang, sondern im Mittel nur bis in die Mitte des bisher sortierten Teilbereichs verschieben.
• Aufwand: Die Anzahl der Vergleiche und Verschiebungen halbiert sich im Vergleich zum Worst-Case in etwa. Der rechnerische Aufwand läge grob bei [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2}n^2 }[/math].
• Komplexität: Da in der asymptotischen Landau-Notation konstante Faktoren (wie die Halbierung) ignoriert werden, da primär die höchste Potenz das Wachstum dominiert, bleibt es auch hier bei einem quadratischen Wachstum. Die Zeitkomplexität im Average-Case lautet ebenfalls [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^2) }[/math].

Einfluss weiterer Operationen

Wie beeinflussen Lese- und Schreiboperationen (das tatsächliche Verschieben der Werte im Array) die Zeitkomplexität? Für das Verschieben käme lediglich ein konstanter Aufwand je Vergleich hinzu. Nennen wir diesen Aufwand [math]\displaystyle{ v }[/math]. Die angepasste Worst-Case-Funktion lautet dann beispielsweise:

[math]\displaystyle{ \frac{v+c}{2}n^2 - \frac{v+c}{2}n }[/math]

Auch hier gilt: Für sehr große [math]\displaystyle{ n }[/math] werden der niederwertige Term und die konstanten Faktoren ignoriert. Es bleibt bei der Erkenntnis, dass Lese- und Schreibzugriffe die fundamentale Komplexitätsklasse nicht verändern. Das Laufzeitverhalten bleibt asymptotisch in der Klasse [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^2) }[/math].