Lineares Optimierungsproblem: Unterschied zwischen den Versionen

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= Lineares Optimierungsproblem =
== Definition ==
== Definition ==
Ein '''Lineares Optimierungsproblem''' ist eine mathematische Aufgabenstellung, bei der eine lineare Zielfunktion unter Berücksichtigung von linearen Nebenbedingungen (Einschränkungen) optimiert werden soll.
Ein '''lineares Optimierungsproblem''' besteht aus einer '''Zielfunktion''' und einem System von '''einschränkenden Bedingungen''' (Nebenbedingungen), die alle linear sind.
 
Man unterscheidet:
 
* '''Maximierungsprobleme''' (z. B. Maximierung von Gewinn oder Deckungsbeitrag)
* '''Minimierungsprobleme''' (z. B. Minimierung von Kosten oder Transportaufwand)
 
=== Allgemeine Form ===
Maximiere bzw. minimiere die Zielfunktion
:<math>Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n</math>


Ein Lineares Optimierungsproblem besteht aus drei Hauptkomponenten:
unter den Nebenbedingungen
# '''Zielfunktion''': Eine Funktion, deren Wert entweder maximiert (z. B. [[Gewinnfunktion]] oder [[Erlösfunktion]]) oder minimiert (z. B. [[Kostenfunktion]]) werden soll.
:<math>
# '''Bedingungssystem (Nebenbedingungen)''': Ein System von linearen Ungleichungen, das die verfügbaren Ressourcen wie Maschinenkapazitäten, Materialvorräte oder Arbeitszeit beschreibt (siehe auch [[Kapazitätsgrenze]]).
\begin{aligned}
# '''Nichtnegativitätsbedingungen (NNB)''': Da in wirtschaftlichen Kontexten keine negativen Mengen produziert werden können, muss für alle Entscheidungsvariablen gelten: \(x_i \ge 0\).
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 &\le b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 &\le b_2\\
\vdots
\end{aligned}
</math>


Es wird unterschieden zwischen:
sowie den '''Nichtnegativitätsbedingungen'''
* '''Maximierungsproblem''': Ziel ist das Erreichen des höchsten Wertes (z. B. Deckungsbeitragsmaximierung).
:<math>x_1 \ge 0,\; x_2 \ge 0,\; \dots</math>
* '''Minimierungsproblem''': Ziel ist das Erreichen des geringsten Wertes (z. B. Kostenminimierung beim Einsatzproblem).


== Modellierung ökonomischer Prozesse ==
Die Menge aller zulässigen Lösungen heißt '''zulässiger Bereich'''.
Um ein reales Problem mathematisch abzubilden, werden Entscheidungsvariablen definiert (z. B. \(x_1\) für Produkt A, \(x_2\) für Produkt B). Die sprachlichen Informationen werden dann in ein mathematisches Modell übersetzt, das oft die Form eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Systems]] annimmt, jedoch mit Ungleichungen statt Gleichungen.


== Beispiel ==
== Ökonomische Interpretation ==
Die '''Modellwerk Ruhr GmbH''' produziert zwei Spielzeugmodelle:
* Zielfunktion: [[Gewinnfunktion]] oder Erlösfunktion
* '''Kran''': 40 € Deckungsbeitrag (DB) pro Stück.
* Nebenbedingungen: Kapazitätsgrenzen (vgl. [[Kapazitätsgrenze]])
* '''Lok''': 50 € DB pro Stück.
* Variablen: Produktionsmengen


Die Produktion ist durch zwei Abteilungen begrenzt:
== Grafische Lösung ==
# Holzbearbeitung: \(2x_1 + 1x_2 \le 100\) Stunden
Bei zwei Entscheidungsvariablen kann das Problem grafisch gelöst werden:
# Endmontage: \(1x_1 + 2x_2 \le 80\) Stunden
# NNB: \(x_1, x_2 \ge 0\)


Die Zielfunktion lautet: \(z = 40x_1 + 50x_2 \rightarrow \text{max!}\)
* Zeichnen der Nebenbedingungen als Geraden (vgl. [[Lineare Funktion]])
* Bestimmung des zulässigen Bereichs
* Untersuchung der Eckpunkte (vgl. [[Eckpunktberechnungsmethode]])


== Beispiel (Gewinnmaximierung) ==
Ein Unternehmen produziert zwei Produkte:
* Gewinn pro Stück A: 3 GE
* Gewinn pro Stück B: 5 GE
Nebenbedingungen:
:<math>
\begin{aligned}
2x + y &\le 8\\
x + 2y &\le 8\\
x,y &\ge 0
\end{aligned}
</math>
Zielfunktion:
:<math>Z = 3x + 5y \rightarrow \max</math>
=== Grafische Darstellung (JSXGraph) ===
<html>
<html>
<head>
<head>
    <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script>
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script>
    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraph.css" />
</head>
</head>
<body>
<body>
    <div id="box_lop" class="jxgbox" style="width: 400px; height: 400px; margin-top:20px;"></div>
<div id="lp1" style="width:400px;height:300px;"></div>
    <script type="text/javascript">
<script>
        (function() {
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('lp1',{
            var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box_lop', {
boundingbox:[-1,9,9,-1], axis:true, grid:true
                boundingbox: [-10, 110, 110, -10],
});
                axis: true,
 
                showCopyright: false
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            });
var g2 = board.create('line', [[0,4],[8,0]]);
            var f1 = board.create('line', [[0, 100], [50, 0]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'red', name:'Holz', withLabel:true});
 
            var f2 = board.create('line', [[0, 40], [80, 0]], {straightFirst:false, straightLast:false, strokeColor:'blue', name:'Montage', withLabel:true});
board.create('text',[5,5,'Zulässiger Bereich']);
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            var k = board.create('slider', [[10, 90], [60, 90], [0, 0, 3000]], {name: 'DB'});
            board.create('line', [function(){ return -k.Value(); }, 40, 50], {strokeColor: 'green', dash: 2, name: 'Zielfunktion', withLabel: true});
        })();
    </script>
</body>
</body>
</html>
</html>
== Zusammenhang zu anderen Themen ==
* Lösung von Gleichungssystemen: [[Lineares Gleichungssystem]]
* Darstellung in Tabellenform: [[Matrix]]


[[Kategorie:Lineare_Optimierung]]
[[Kategorie:Lineare_Optimierung]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Version vom 6. Februar 2026, 09:15 Uhr

Lineares Optimierungsproblem

Definition

Ein lineares Optimierungsproblem besteht aus einer Zielfunktion und einem System von einschränkenden Bedingungen (Nebenbedingungen), die alle linear sind.

Man unterscheidet:

  • Maximierungsprobleme (z. B. Maximierung von Gewinn oder Deckungsbeitrag)
  • Minimierungsprobleme (z. B. Minimierung von Kosten oder Transportaufwand)

Allgemeine Form

Maximiere bzw. minimiere die Zielfunktion

[math]\displaystyle{ Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n }[/math]

unter den Nebenbedingungen

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 &\le b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 &\le b_2\\ \vdots \end{aligned} }[/math]

sowie den Nichtnegativitätsbedingungen

[math]\displaystyle{ x_1 \ge 0,\; x_2 \ge 0,\; \dots }[/math]

Die Menge aller zulässigen Lösungen heißt zulässiger Bereich.

Ökonomische Interpretation

Grafische Lösung

Bei zwei Entscheidungsvariablen kann das Problem grafisch gelöst werden:

Beispiel (Gewinnmaximierung)

Ein Unternehmen produziert zwei Produkte:

  • Gewinn pro Stück A: 3 GE
  • Gewinn pro Stück B: 5 GE

Nebenbedingungen:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} 2x + y &\le 8\\ x + 2y &\le 8\\ x,y &\ge 0 \end{aligned} }[/math]

Zielfunktion:

[math]\displaystyle{ Z = 3x + 5y \rightarrow \max }[/math]

Grafische Darstellung (JSXGraph)

Zusammenhang zu anderen Themen

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