Vierfeldertafel

Die Vierfeldertafel wird neben dem Baumdiagramm zur graphischen Darstellung von Zufallsexperimenten und ihren Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet.

Definition

Eine Vierfeldertafel ist eine tabellarische Darstellung, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen und ihren Gegenereignissen zu analysieren. Sie ermöglicht die übersichtliche Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Die Vierfeldertafel besteht aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. [math]\displaystyle{ A }[/math] und [math]\displaystyle{ B }[/math]) sowie deren Gegenereignisse ([math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math] und [math]\displaystyle{ \overline{B} }[/math]) abbilden. Zusätzlich werden die Randsummen (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten zu verdeutlichen.

Aufbau einer Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel hat folgende Struktur:

	[math]\displaystyle{ B }[/math]	[math]\displaystyle{ \overline{B} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum }[/math]
[math]\displaystyle{ A }[/math]	[math]\displaystyle{ P(A \cap B) }[/math]	[math]\displaystyle{ P(A \cap \overline{B}) }[/math]	[math]\displaystyle{ P(A) }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math]	[math]\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B) }[/math]	[math]\displaystyle{ P(\overline{A} \cap \overline{B}) }[/math]	[math]\displaystyle{ P(\overline{A}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum }[/math]	[math]\displaystyle{ P(B) }[/math]	[math]\displaystyle{ P(\overline{B}) }[/math]	1

Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.

Beispiele

Medizinischer Test

Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.

Die Vierfeldertafel sieht dann wie folgt aus:

	Test positiv (T)	Test negativ ([math]\displaystyle{ \overline{T} }[/math])	Total
Krank (K)	[math]\displaystyle{ 0,95 \cdot 0,02 = 0,019 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,05 \cdot 0,02 = 0,001 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,02 }[/math]
Gesund ([math]\displaystyle{ \overline{K} }[/math])	[math]\displaystyle{ 0,10 \cdot 0,98 = 0,098 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,90 \cdot 0,98 = 0,882 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,98 }[/math]
Total	[math]\displaystyle{ 0,117 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,883 }[/math]	1

Berechnungen:

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist und positiv getestet wird:

[math]\displaystyle{ P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019 }[/math]

Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:

[math]\displaystyle{ P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 }[/math]

Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich krank ist, wenn der Test positiv ist:

[math]\displaystyle{ P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 }[/math]