Stammfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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===Potenzregel===

Für <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:

Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:

<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.

:<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>

Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:

:<math>\int f(x) dx = \int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>

Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:

:<math>\int f(x) ~dx =\int (\frac{1}{x})dx =\ln|x|+C</math>

===Faktorregel===

Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:

<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>.

:<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>

===Summenregel===

Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:

<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>.

:<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>

~~===Gebrochenrationale Funktionen===~~

~~Für <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:~~

~~:<math>\int f(x) dx = \int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>.~~

==Beispiele==

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Zeile 43:

:<math>\int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2 dx + \int 3x^3 dx= 2 \int x^2 dx + 3\int x^3 dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>

berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.

===Gebrochenrationale Funktion integrieren===

Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch

:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) dx = \int \frac{2}{x} dx + \int \frac{3}{x^2} dx = 2 \int x^{-1} dx + 3 \int x^{-2} dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C</math>

berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

[[Kategorie:Integralrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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 ===Potenzregel===
-Für <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:
+Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:
-<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.
+:<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>
+Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:
+:<math>\int f(x) dx = \int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>
+Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:
+:<math>\int f(x) ~dx =\int (\frac{1}{x})dx =\ln|x|+C</math>
 ===Faktorregel===
 Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:
-<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>.
+:<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>
 ===Summenregel===
 Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:
-<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>.
+:<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>
-===Gebrochenrationale Funktionen===
-Für <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:
-:<math>\int f(x) dx = \int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C</math>.
 ==Beispiele==
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 :<math>\int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2  dx + \int 3x^3  dx= 2 \int x^2  dx + 3\int x^3  dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>
 berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.
+===Gebrochenrationale Funktion integrieren===
+Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch
+:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) dx = \int \frac{2}{x} dx + \int \frac{3}{x^2} dx = 2 \int x^{-1} dx + 3 \int x^{-2} dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C</math>
+berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.
 [[Kategorie:Integralrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]