Stammfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>. | :<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>. | ||
==Integrationsregeln== | ==Integrationsregeln== | ||
Version vom 28. Januar 2025, 15:39 Uhr
Eine Funktion zu der die Ableitung gebildet wurde, heißt Stammfunktion. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte (bestimmte Integrale) ermittelt, die sich zwischen dem Graphen der dazugehörigen Ableitungsfunktion und der x-Achse befinden.
Definition
Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] auf einem Intervall [math]\displaystyle{ [a; b] \subseteq \mathbb{R} }[/math] definiert und gibt es eine Funktion [math]\displaystyle{ F }[/math], sodass für alle [math]\displaystyle{ x }[/math] aus diesem Intervall [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x) }[/math] gilt, dann wird [math]\displaystyle{ F }[/math] als eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math] bezeichnet. Die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] heißt dabei die Ableitung von [math]\displaystyle{ F }[/math].
Unbestimmtes Integral
Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist die Menge aller Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math], welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R} }[/math] dargestellt werden können
- [math]\displaystyle{ \int f(x) dx = F(x) + C }[/math].
Integrationsregeln
Es sei [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math]. Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
Potenzregel
Für [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \neq -1 }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ \int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math].
Faktorregel
Für [math]\displaystyle{ f(x) = c \cdot g(x) }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R} }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ \int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx }[/math].
Summenregel
Für [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) + h(x) }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ \int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx }[/math].
Beispiele
Potenzregel anwenden
Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math] wird durch
- [math]\displaystyle{ \int (x^3) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C }[/math]
berechnet. [math]\displaystyle{ F(x) = \frac{x^4}{4} + 5 }[/math] ist beispielsweise eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math], da [math]\displaystyle{ F'(x)=x^3=f(x) }[/math] gilt.
Faktor- und Summenregel anwenden
Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ h(x) = 2x^2 + 3x^3 }[/math] wird durch
- [math]\displaystyle{ \int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2 dx + \int 3x^3 dx= 2 \int x^2 dx + 3\int x^3 dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C }[/math]
berechnet. [math]\displaystyle{ H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5 }[/math] und [math]\displaystyle{ H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ h }[/math].