Kettenregel: Unterschied zwischen den Versionen

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 ==Beispiele==
+===Kettenregel anwenden===
+Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = (x^2 + 1)^3</math> und <math>v(x) = x^2 + 1</math>.
+Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(v(x)) = (x^2 + 1)^3</math>.
+Nach der Kettenregel gilt:
+<math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.
+Berechnen wir die Ableitungen:
+<math>u'(v(x)) = 3(v(x))^2 = 3(x^2 + 1)^2</math> und <math>v'(x) = 2x</math>.
+Einsetzen ergibt:
+<math>f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2</math>.
+===Ketten- und Produktregel anwenden===
+Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = (x^3 + 2x)^4</math> und <math>v(x) = e^x</math>.
+Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(x) \cdot v(x) = (x^3 + 2x)^4 \cdot e^x</math>.
+Nach der Produktregel gilt:
+<math>f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)</math>.
+Zunächst wenden wir die Kettenregel auf <math>u(x)</math> an:
+<math>u(x) = (x^3 + 2x)^4</math>
+Nach der Kettenregel:
+<math>u'(x) = 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2)</math>.
+Für <math>v(x)</math> gilt:
+<math>v'(x) = e^x</math>.
+Einsetzen in die Produktregel ergibt:
+<math>f'(x) = [4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2)] \cdot e^x + (x^3 + 2x)^4 \cdot e^x</math>.
+Faktorisiertes Ergebnis:
+<math>f'(x) = e^x \cdot \left[ 4(x^3 + 2x)^3 \cdot (3x^2 + 2) + (x^3 + 2x)^4 \right]</math>.
 [[Kategorie:Differentialrechnung]]
 [[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]