Kettenregel: Unterschied zwischen den Versionen

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 <math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>.
+==Beweis der Kettenregel==
+Wir leiten die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(v(x))</math> ab.
+Ableitung durch Grenzwert des [[Ableitung|Differenzenquotienten]] ausdrücken:
+: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math>
+Da <math> f(x) = u(v(x)) </math>, setzen wir dies in den Differenzenquotienten ein:
+: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{h} </math>
+Nun erweitern wir durch <math> v(x_0 + h) - v(x_0) </math>, um die Kettenregel herleiten zu können:
+: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} \cdot \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \right) </math>
+Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von <math>u</math> an der Stelle <math>v(x_0)</math>, der zweite der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math>.
+Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt:
+- Der erste Term wird zu <math> u'(v(x_0)) </math>, da <math> \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} = u'(v(x_0)) </math>.
+- Der zweite Term wird zu <math> v'(x_0) </math>, weil dies der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math> ist.
+Damit erhalten wir die Kettenregel:
+: <math> f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) </math>
 ==Beispiele==