Natürliche Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Diese Zahl heißt Euler'sche Zahl <math>e</math>. Die Funktion <math>f(x)=e^x</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. | Diese Zahl heißt Euler'sche Zahl <math>e</math>. Die Funktion <math>f(x)=e^x</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung <math>f'(x)=e^x</math>. | ||
==Definition== | ==Definition== | ||
Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. | Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. | ||
Version vom 5. September 2024, 10:44 Uhr
Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] mit der Basis [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math]. Viele Phänomene aus der Natur werden mit Hilfe der e-Funktion modelliert. Außerdem gilt für die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math].
Euler'sche Zahl e
Die Euler'sche Zahl ist [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math].
Herleitung der Euler'schen Zahl e
Wir verwenden, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math] durch [math]\displaystyle{ f'(x)=ca^x }[/math] gegeben ist. Wir setzen [math]\displaystyle{ c=1 }[/math] und ermitteln eine Basis [math]\displaystyle{ a }[/math], so dass [math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math] die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=a^x }[/math] hat:
[math]\displaystyle{ c=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a^h-1}{h} \approx 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ a^h-1 \approx h }[/math]
[math]\displaystyle{ a^h \approx h+1 }[/math]
[math]\displaystyle{ a \approx \sqrt[h]{h+1} }[/math]
Lassen wir [math]\displaystyle{ h }[/math] gegen 0 laufen, erhalten wir [math]\displaystyle{ a \approx 2,71828... }[/math].
Diese Zahl heißt Euler'sche Zahl [math]\displaystyle{ e }[/math]. Die Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math].
Definition
Die Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R} }[/math] der Form [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] mit der Euler'schen Zahl [math]\displaystyle{ e }[/math] heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion.