Natürliche Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir setzen <math>c=1</math> und ermitteln eine Basis <math>a</math>, so dass <math> f(t)=a^t </math> die Ableitung <math>f'(t)=a^t</math> hat: | Wir verwenden, dass die [[Exponentialfunktion#Ableitung|Ableitung]] einer Exponentialfunktion der Form <math>f(t)=a^t</math> durch <math>f'(t)=ca^t</math> gegeben ist. Wir setzen <math>c=1</math> und ermitteln eine Basis <math>a</math>, so dass <math> f(t)=a^t </math> die Ableitung <math>f'(t)=a^t</math> hat: | ||
<math> c=1 | <math> c=1</math> | ||
<math> \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=1 </math> | |||
<math>\frac{a^h-1}{h} \approx 1 </math> | |||
<math>a^h-1 \approx h </math> | |||
<math>a^h \approx h+1 </math> | |||
<math>a \approx \sqrt[h]{h+1} </math> | |||
Lassen wir <math>h</math> gegen 0 laufen, erhalten wir <math>a \approx 2,71828... </math>. | Lassen wir <math>h</math> gegen 0 laufen, erhalten wir <math>a \approx 2,71828... </math>. | ||
Version vom 5. September 2024, 09:00 Uhr
Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] mit der Basis [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math]. Viele Phänomene aus der Natur werden mit Hilfe der e-Funktion modelliert. Außerdem gilt für die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math].
Euler'sche Zahl e
Die Euler'sche Zahl ist [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math].
Herleitung der Euler'schen Zahl e
Wir verwenden, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(t)=a^t }[/math] durch [math]\displaystyle{ f'(t)=ca^t }[/math] gegeben ist. Wir setzen [math]\displaystyle{ c=1 }[/math] und ermitteln eine Basis [math]\displaystyle{ a }[/math], so dass [math]\displaystyle{ f(t)=a^t }[/math] die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(t)=a^t }[/math] hat:
[math]\displaystyle{ c=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a^h-1}{h} \approx 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ a^h-1 \approx h }[/math]
[math]\displaystyle{ a^h \approx h+1 }[/math]
[math]\displaystyle{ a \approx \sqrt[h]{h+1} }[/math]
Lassen wir [math]\displaystyle{ h }[/math] gegen 0 laufen, erhalten wir [math]\displaystyle{ a \approx 2,71828... }[/math].
Diese Zahl heißt Euler'sche Zahl [math]\displaystyle{ e }[/math]. Die Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion.