Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:ExponentialfunktionSpiegelbildlich.png|mini|Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math>]] | [[Datei:ExponentialfunktionSpiegelbildlich.png|mini|Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math>]] | ||
Die Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse. | Die Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse. | ||
==Beschränkter Wachstumsprozess== | |||
[[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterWachstumsprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190)\cdot 0,7^t+210</math>]] | |||
Wir backen ein schmackhaftes Zwiebelbrot bei 210 °C und messen die Temperatur des Brotes im Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 45 minütigen Backprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>h(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>h(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Backtemperatur von 210 °C, kann das Brot nicht wärmer als 210 °C werden, daher gilt <math>d=210</math>. | |||
Da der Backprozess 45 Minuten andauert, ist der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}_h=[0;45]</math>. Temperaturmessungen des Zwiebelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt <math>t=0</math> die Temperatur 20 °C und zum Zeitpunkt <math>t=1</math> die Temperatur 77 °C beträgt. Damit gilt | |||
<math>h(0)=c\cdot a^0+210</math> | |||
<math>20=c+210</math> | |||
<math>-190=c</math> | |||
Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form <math>h(t)=(-190) \cdot a^t+210</math>. Wir müssen die Basis <math>a</math> bestimmen: | |||
<math>h(1)=(-190)\cdot a^1+210</math> | |||
<math>77=(-190) \cdot a +210</math> | |||
<math>-133=(-190) \cdot a</math> | |||
<math>0,7=a</math> | |||
Die erweiterte Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190) \cdot 0,7^t+210</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=210</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_h</math> gilt, dass <math>-190\cdot 0,7^t<0</math> ist. Der Graph von <math>h</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>h</math> streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt <math>h</math> einen '''beschränkten Wachstumsprozess'''. | |||
==Beschränkter Abnahmeprozess== | ==Beschränkter Abnahmeprozess== | ||
[[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterAbnahmeprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^ | [[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterAbnahmeprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math>]] | ||
Wir | Wir nehmen das fertig gebackene Brot aus dem Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 30-minütigen Abkühlungsprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>f(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>f(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Raumtemperatur, kann das Brot nicht kälter als 20 °C werden, daher gilt <math>d=20</math>. | ||
Da der Abkühlungsprozess 30 Minuten andauert, ist der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}_f=[0;30]</math>. Temperaturmessungen des | Da der Abkühlungsprozess 30 Minuten andauert, ist der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}_f=[0;30]</math>. Temperaturmessungen des Zwiebelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt <math>t=0</math> die Temperatur 200 °C und zum Zeitpunkt <math>t=1</math> die Temperatur 164 °C beträgt. Damit gilt | ||
<math>f(0)=c\cdot a^0+20</math> | <math>f(0)=c\cdot a^0+20</math> | ||
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<math>180=c</math> | <math>180=c</math> | ||
Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form <math>f( | Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form <math>f(t)=180 \cdot a^t+20</math>. Wir müssen die Basis <math>a</math> bestimmen: | ||
<math>f(1)=180\cdot a^1+20</math> | <math>f(1)=180\cdot a^1+20</math> | ||
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Die erweiterte Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=20</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>180\cdot 0,8^t>0</math> ist. Der Graph von <math>f</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>f</math> streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt <math>f</math> einen '''beschränkten Abnahmeprozess'''. | Die erweiterte Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=20</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>180\cdot 0,8^t>0</math> ist. Der Graph von <math>f</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>f</math> streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt <math>f</math> einen '''beschränkten Abnahmeprozess'''. | ||
[[Kategorie:Mathematische Funktion]] | [[Kategorie:Mathematische Funktion]] | ||
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | ||