Laufzeitanalyse

== Einführung ==

Asymptotische Annäherung einer Funktion

Die Laufzeitanalyse untersucht die Zeitkomplexität eines Algorithmus. Da die reale Ausführungszeit stark von der Hardwareausstattung des Zielsystems abhängt, wird für eine allgemeine, hardwareunabhängige Betrachtung die Anzahl der elementaren Befehle (Operationen) analysiert, die ein Algorithmus zur Lösung eines Problems benötigt. Diese Anzahl ist abhängig von der Größe der Eingabemenge, deren Umfang auch als Problemgröße (oft [math]\displaystyle{ n }[/math]) bezeichnet wird. Für kleine Eingabemengen ist die Analyse häufig von geringerer Bedeutung, da auch ineffiziente Algorithmen hier oft ausreichend schnelle Ergebnisse liefern. Entscheidend ist die Betrachtung für sehr große Problemgrößen, insbesondere unter ungünstigen Startbedingungen. Hier spricht man von der asymptotischen Laufzeit. In Anlehnung an eine mathematische Asymptote beschreibt sie das Zeitverhalten des Algorithmus für eine potenziell unendlich wachsende Eingabemenge (z. B. eine theoretisch unendlich lange Zahlenfolge beim Sortieren). Lässt sich die Laufzeit eines Algorithmus mathematisch durch eine Funktion beschreiben, wie beispielsweise: [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} + x }[/math] So nähert sich die rot dargestellte Funktion [math]\displaystyle{ \color{red}{f(x)} }[/math] für große [math]\displaystyle{ x }[/math] der grün dargestellten Asymptote [math]\displaystyle{ \color{green}{g(x) = x} }[/math] an. Die Laufzeit wird in Abhängigkeit von der Länge [math]\displaystyle{ n }[/math] der Eingabe angegeben und für immer größer werdende [math]\displaystyle{ n }[/math] asymptotisch unter Verwendung der Landau-Notation (Groß-O-Notation) abgeschätzt. In der Praxis ist die Laufzeitanalyse essenziell, um entscheiden zu können, ob ein Programm bei stark anwachsenden Datenmengen noch performant und wirtschaftlich betrieben werden kann. === Abgrenzung === Es ist wichtig zu betonen, was die asymptotische Laufzeitanalyse nicht leistet: Sie misst nicht den tatsächlichen Zeitaufwand (in Sekunden) eines implementierten Algorithmus auf einem spezifischen Computer für eine konkrete, endliche Eingabemenge. == Szenarien der Laufzeitabschätzung == Man unterscheidet bei der Laufzeitabschätzung klassischerweise drei Varianten: * Das Worst-Case-Szenario (schlechtester Fall): Beschreibt diejenige Datenanordnung, die zu einer maximalen Durchlaufzeit des Algorithmus führt. Dies entspricht der oberen Schranke des Problems. * Das Average-Case-Szenario (durchschnittlicher Fall): Beschreibt eine zufällige Problemgröße und Datenanordnung, die zu einer mittleren (erwarteten) Durchlaufzeit führt. * Das Best-Case-Szenario (bester Fall): Beschreibt diejenige Datenanordnung, die zu einer minimalen Durchlaufzeit führt (z. B. eine bereits vollständig sortierte Liste). Dies entspricht der unteren Schranke. == Mathematische Berechnung des Average-Case (Erwartungswert) == Im Gegensatz zum Worst-Case oder Best-Case, die lediglich Extremfälle betrachten, ist die Berechnung des Average-Case (durchschnittlicher Fall) mathematisch anspruchsvoller. Er entspricht in der Stochastik dem Erwartungswert der Laufzeit. Um diesen zu berechnen, müssen alle möglichen Eingaben der Größe [math]\displaystyle{ n }[/math] sowie deren Eintrittswahrscheinlichkeiten berücksichtigt werden. Die allgemeine Formel für den Erwartungswert [math]\displaystyle{ E(T) }[/math] der Laufzeit lautet: [math]\displaystyle{ E(T) = \sum_{i=1}^{|E|} p_i \cdot t_i }[/math] Dabei ist: * [math]\displaystyle{ E }[/math] die Menge aller möglichen Eingaben der Größe [math]\displaystyle{ n }[/math]. * [math]\displaystyle{ p_i }[/math] die Wahrscheinlichkeit, dass genau die Eingabe [math]\displaystyle{ i }[/math] auftritt. * [math]\displaystyle{ t_i }[/math] die Anzahl der elementaren Rechenschritte (Laufzeit), die der Algorithmus für die Eingabe [math]\displaystyle{ i }[/math] benötigt. Häufig wird der Einfachheit halber eine Gleichverteilung (Laplace-Annahme) vorausgesetzt. Das bedeutet, man geht davon aus, dass jede mögliche Eingabekonfiguration gleich wahrscheinlich ist. === Beispiel: Average-Case der Linearen Suche === Um das Prinzip zu verdeutlichen, betrachten wir den Algorithmus der linearen Suche: Ein Array der Länge [math]\displaystyle{ n }[/math] wird von vorne nach hinten durchsucht, bis ein gesuchtes Element [math]\displaystyle{ x }[/math] gefunden wird. Wir treffen für diese Analyse folgende Annahmen: # Das gesuchte Element [math]\displaystyle{ x }[/math] befindet sich definitiv im Array. # Jede Position [math]\displaystyle{ 1, 2, \dots, n }[/math] im Array ist für das Element [math]\displaystyle{ x }[/math] gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ p }[/math], dass es an einer bestimmten Stelle steht, ist somit [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{n} }[/math]. Wenn das Element an der ersten Stelle steht, benötigen wir 1 Vergleich. Steht es an der zweiten Stelle, benötigen wir 2 Vergleiche, und so weiter. Steht es an der letzten Stelle, benötigen wir [math]\displaystyle{ n }[/math] Vergleiche. Wir setzen diese Werte in die Formel für den Erwartungswert ein: [math]\displaystyle{ E(T) = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{n} \cdot i \right) }[/math] Da [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] ein konstanter Faktor unabhängig vom Laufindex [math]\displaystyle{ i }[/math] ist, können wir ihn vor die Summe ziehen: [math]\displaystyle{ E(T) = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} i }[/math] Der hintere Teil der Gleichung ist die bekannte Gaußsche Summenformel (arithmetische Reihe), die sich auflösen lässt zu [math]\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} }[/math]. Wir setzen dies ein: [math]\displaystyle{ E(T) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} }[/math] Durch Kürzen des [math]\displaystyle{ n }[/math] erhalten wir das finale Ergebnis: [math]\displaystyle{ E(T) = \frac{n+1}{2} = \frac{1}{2}n + \frac{1}{2} }[/math] Fazit: Im Durchschnitt benötigt die lineare Suche [math]\displaystyle{ \frac{n+1}{2} }[/math] Vergleiche. Für die asymptotische Laufzeitanalyse ignorieren wir Konstanten und niederwertige Terme, sodass auch der Average-Case der linearen Suche in der Komplexitätsklasse [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n) }[/math] liegt. === Indikatorvariablen und die Harmonische Reihe === Bei einfachen Algorithmen reicht eine Gleichverteilung zur Herleitung oft aus. Bei komplexeren, teile-und-herrsche-basierten Algorithmen wie Quicksort reicht dies nicht mehr. Um den Average-Case von Quicksort ([math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n \log n) }[/math]) selbstständig ermitteln zu können, benötigt man zwei mathematische Werkzeuge: Indikatorzufallsvariablen und die Harmonische Reihe. Um diese Konzepte zu erlernen, betrachten wir als vorbereitendes Beispiel die Bestimmung des Maximums in einem unsortierten Array:

 public int findMax(int[] A) { int max = A[0]; for (int i = 1; i < A.length; i++) { if (A[i] > max) { max = A[i]; // Update-Operation } } return max; }

Die grundlegenden Vergleiche (A[i] > max) finden in jedem Fall [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] Mal statt. Die spannende Frage für die Laufzeitanalyse (insbesondere beim Schreiben in den Speicher) ist jedoch: Wie oft wird die Update-Operation max = A[i] im Durchschnitt ausgeführt? Wir gehen von einer zufälligen Permutation (Anordnung) der Zahlen aus. * Schritt 1: Indikatorvariablen definieren Wir definieren eine Indikatorzufallsvariable [math]\displaystyle{ X_i }[/math]. Diese nimmt den Wert [math]\displaystyle{ 1 }[/math] an, wenn an der Stelle [math]\displaystyle{ i }[/math] ein neues Maximum gefunden wird, und [math]\displaystyle{ 0 }[/math], wenn nicht. Die Gesamtzahl der Updates [math]\displaystyle{ X }[/math] ist die Summe aller [math]\displaystyle{ X_i }[/math]: [math]\displaystyle{ X = \sum_{i=1}^{n} X_i }[/math]. * Schritt 2: Wahrscheinlichkeit ermitteln Damit an der Stelle [math]\displaystyle{ i }[/math] ein neues Maximum gefunden wird, muss die Zahl [math]\displaystyle{ A[i] }[/math] die größte unter den ersten [math]\displaystyle{ i }[/math] Zahlen sein. Da wir von einer zufälligen Anordnung ausgehen, ist jede der ersten [math]\displaystyle{ i }[/math] Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit die größte. Die Wahrscheinlichkeit ist also: [math]\displaystyle{ P(X_i = 1) = \frac{1}{i} }[/math] Der Erwartungswert [math]\displaystyle{ E[X_i] }[/math] ist bei Indikatorvariablen identisch mit ihrer Wahrscheinlichkeit: [math]\displaystyle{ E[X_i] = \frac{1}{i} }[/math]. * Schritt 3: Erwartungswert der Summe berechnen Dank der Linearität des Erwartungswertes (Erwartungswerte von Summen dürfen als Summe der Erwartungswerte geschrieben werden) erhalten wir: [math]\displaystyle{ E[X] = E\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} E[X_i] = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} }[/math] Diese Summe ist in der Mathematik als die [math]\displaystyle{ n }[/math]-te Partialsumme der Harmonischen Reihe ([math]\displaystyle{ H_n }[/math]) bekannt. Für große [math]\displaystyle{ n }[/math] wächst die harmonische Reihe logarithmisch, sie lässt sich annähern durch den natürlichen Logarithmus: [math]\displaystyle{ H_n \approx \ln(n) }[/math]. Erkenntnis für Quicksort: Die Update-Operation wird im Average-Case also nur [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(\log n) }[/math] Mal ausgeführt, obwohl das Array [math]\displaystyle{ n }[/math] Elemente hat. Genau dieses Prinzip – das Aufsummieren von stochastischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Array-Elemente, die zu einer harmonischen Reihe und damit zu einem logarithmischen Faktor führen – ist der mathematische Schlüssel, um die Average-Case-Laufzeit von [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n \log n) }[/math] bei Quicksort herzuleiten. == Beispiel: Laufzeitanalyse von Insertion Sort == Im Folgenden wird die Laufzeitanalyse beispielhaft anhand des Insertion Sorts (Sortieren durch Einfügen) durchgeführt. Wir betrachten eine mögliche Implementierung in der Programmiersprache Java. Der Algorithmus arbeitet mit einem Array als Datenstruktur und verwendet als Kontrollstrukturen Verzweigungen und Schleifen.

 public void sortierenEinfuegen_MC() {     int v, i, j;     for (i = 1; i < zSortfeld.length; i++) {         c++; // Zähler für Vergleiche         if (zSortfeld[i] < zSortfeld[i - 1]) {             v = zSortfeld[i];             j = i;             do {                 zSortfeld[j] = zSortfeld[j - 1];                 j--;             } while ((j > 0) && (zSortfeld[j - 1] > v));             zSortfeld[j] = v;          }         printAnalyse(i);     } }

Wir analysieren nun die drei Szenarien für eine Liste mit [math]\displaystyle{ n }[/math] Elementen und betrachten zunächst den Zeitverbrauch für die durchzuführenden Vergleichsoperationen. Den konstanten Zeitverbrauch für einen einzelnen Vergleich bezeichnen wir allgemein mit [math]\displaystyle{ c }[/math]. === 1. Best-Case-Szenario (Bester Fall) === Ein Best-Case-Szenario liegt vor, wenn die Liste bereits aufsteigend sortiert ist, beispielsweise: [0, 2, 3, 5, 7, 11] * Verhalten: Die äußere for-Schleife durchläuft das Array [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] Mal. Da das aktuell betrachtete Element stets größer oder gleich seinem Vorgänger ist, ist die Bedingung der if-Anweisung (zSortfeld[i] < zSortfeld[i - 1]) immer falsch. Die innere do-while-Schleife wird somit nie betreten. * Aufwand: Es findet pro Durchlauf der äußeren Schleife exakt ein Vergleich statt. Der Gesamtaufwand lautet [math]\displaystyle{ c \cdot (n - 1) }[/math]. * Komplexität: Für sehr große [math]\displaystyle{ n }[/math] wächst der Aufwand linear zur Eingabemenge. Der Insertion Sort hat im Best-Case somit eine Zeitkomplexität von [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n) }[/math]. === 2. Worst-Case-Szenario (Schlechtester Fall) === Ein Worst-Case-Szenario liegt vor, wenn die Liste in genau umgekehrter (absteigender) Reihenfolge vorliegt, beispielsweise: [11, 7, 5, 3, 2, 0] * Verhalten: Die if-Bedingung ist hier immer wahr. Das aktuell betrachtete Element muss in der inneren do-while-Schleife jedes Mal bis ganz an den Anfang des Arrays verschoben werden. * Aufwand: ** Beim ersten Durchlauf vergleichen wir nur die 7 mit der 11 (1 Vergleich). Aufwand: [math]\displaystyle{ c \cdot 1 }[/math]. ** Beim zweiten Durchlauf müssen wir das nächste Element mit den zwei bereits sortierten vergleichen. Aufwand: [math]\displaystyle{ c \cdot 2 }[/math]. ** Dies setzt sich fort bis zum letzten Durchlauf, der [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] Vergleiche erfordert. Aufwand: [math]\displaystyle{ c \cdot (n - 1) }[/math]. Der Gesamtaufwand für die Vergleiche entspricht einer arithmetischen Reihe (Gaußsche Summenformel): [math]\displaystyle{ c \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1)) = c \cdot \frac{(n - 1) \cdot n}{2} = \frac{c}{2}n^2 - \frac{c}{2}n }[/math]

Quadratisches Wachstum

Für die asymptotische Betrachtung extrem großer Werte von [math]\displaystyle{ n }[/math] verwerfen wir den langsamer wachsenden (niederwertigen) Term [math]\displaystyle{ \frac{c}{2}n }[/math] sowie die Konstante [math]\displaystyle{ \frac{c}{2} }[/math]. * Komplexität: Der Aufwand wächst quadratisch. Der Insertion Sort hat im Worst-Case somit eine Zeitkomplexität von [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^2) }[/math]. === 3. Average-Case-Szenario (Durchschnittlicher Fall) === Das Average-Case-Szenario geht von einer völlig zufälligen Verteilung der Werte im Array aus. * Verhalten: Im Durchschnitt ist das betrachtete Element kleiner als die Hälfte der bereits sortierten Elemente. Die innere Schleife muss das Element also nicht bis ganz an den Anfang, sondern im Mittel nur bis in die Mitte des bisher sortierten Teilbereichs verschieben. * Aufwand: Die Anzahl der Vergleiche und Verschiebungen halbiert sich im Vergleich zum Worst-Case in etwa. Der rechnerische Aufwand läge grob bei [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2}n^2 }[/math]. * Komplexität: Da in der asymptotischen Landau-Notation konstante Faktoren (wie die Halbierung) ignoriert werden, da primär die höchste Potenz das Wachstum dominiert, bleibt es auch hier bei einem quadratischen Wachstum. Die Zeitkomplexität im Average-Case lautet ebenfalls [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^2) }[/math]. === Einfluss weiterer Operationen === Wie beeinflussen Lese- und Schreiboperationen (das tatsächliche Verschieben der Werte im Array) die Zeitkomplexität? Für das Verschieben käme lediglich ein konstanter Aufwand je Vergleich hinzu. Nennen wir diesen Aufwand [math]\displaystyle{ v }[/math]. Die angepasste Worst-Case-Funktion lautet dann beispielsweise: [math]\displaystyle{ \frac{v+c}{2}n^2 - \frac{v+c}{2}n }[/math] Auch hier gilt: Für sehr große [math]\displaystyle{ n }[/math] werden der niederwertige Term und die konstanten Faktoren ignoriert. Es bleibt bei der Erkenntnis, dass Lese- und Schreibzugriffe die fundamentale Komplexitätsklasse nicht verändern. Das Laufzeitverhalten bleibt asymptotisch in der Klasse [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^2) }[/math].