Lineares Optimierungsproblem: Unterschied zwischen den Versionen
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:<math>Z = 3x + 5y \rightarrow \max</math> | :<math>Z = 3x + 5y \rightarrow \max</math> | ||
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<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script> | <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script> | ||
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraph.css" /> | |||
</head> | </head> | ||
<body> | <body> | ||
<div id=" | <div id="box_lop" class="jxgbox" style="width: 400px; height: 400px; margin-top:20px;"></div> | ||
<script> | <script type="text/javascript"> | ||
var board = JXG.JSXGraph.initBoard(' | (function() { | ||
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box_lop', { | |||
}); | boundingbox: [-1, 9, 9, -1], | ||
axis: true, | |||
grid: true, | |||
showCopyright: false | |||
}); | |||
var | // Nebenbedingungen | ||
// 2x + y = 8 | |||
var nb1 = board.create('line', [[0, 8], [4, 0]], { | |||
straightFirst: false, | |||
straightLast: false, | |||
strokeColor: 'red', | |||
name: '2x + y = 8', | |||
withLabel: true | |||
}); | |||
board.create(' | // x + 2y = 8 | ||
</script> | var nb2 = board.create('line', [[0, 4], [8, 0]], { | ||
straightFirst: false, | |||
straightLast: false, | |||
strokeColor: 'blue', | |||
name: 'x + 2y = 8', | |||
withLabel: true | |||
}); | |||
// Zulässiger Bereich | |||
board.create('polygon', [ | |||
[0, 0], | |||
[4, 0], | |||
[8/3, 8/3], | |||
[0, 4] | |||
], { | |||
fillColor: '#0055aa', | |||
fillOpacity: 0.2, | |||
borders: { visible: false } | |||
}); | |||
// Slider für Zielfunktion Z = 3x + 5y | |||
var Z = board.create('slider', [[0.5, 8.2], [5.5, 8.2], [0, 0, 40]], { | |||
name: 'Z' | |||
}); | |||
// Zielfunktionsgerade: 3x + 5y = Z => y = (Z - 3x)/5 | |||
board.create('line', [ | |||
function () { return -3 / 5; }, | |||
function () { return Z.Value() / 5; } | |||
], { | |||
strokeColor: 'green', | |||
dash: 2, | |||
name: 'Zielfunktion', | |||
withLabel: true | |||
}); | |||
})(); | |||
</script> | |||
</body> | </body> | ||
</html> | </html> | ||
Version vom 6. Februar 2026, 09:18 Uhr
Definition
Ein lineares Optimierungsproblem besteht aus einer Zielfunktion und einem System von einschränkenden Bedingungen (Nebenbedingungen), die alle linear sind.
Man unterscheidet:
- Maximierungsprobleme (z. B. Maximierung von Gewinn oder Deckungsbeitrag)
- Minimierungsprobleme (z. B. Minimierung von Kosten oder Transportaufwand)
Maximiere bzw. minimiere die Zielfunktion
- [math]\displaystyle{ Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n }[/math]
unter den Nebenbedingungen
- [math]\displaystyle{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 &\le b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 &\le b_2\\ \vdots \end{aligned} }[/math]
sowie den Nichtnegativitätsbedingungen
- [math]\displaystyle{ x_1 \ge 0,\; x_2 \ge 0,\; \dots }[/math]
Die Menge aller zulässigen Lösungen heißt zulässiger Bereich.
Ökonomische Interpretation
- Zielfunktion: Gewinnfunktion oder Erlösfunktion
- Nebenbedingungen: Kapazitätsgrenzen (vgl. Kapazitätsgrenze)
- Variablen: Produktionsmengen
Grafische Lösung
Bei zwei Entscheidungsvariablen kann das Problem grafisch gelöst werden:
- Zeichnen der Nebenbedingungen als Geraden (vgl. Lineare Funktion)
- Bestimmung des zulässigen Bereichs
- Untersuchung der Eckpunkte (vgl. Eckpunktberechnungsmethode)
Beispiel
Ein Unternehmen produziert zwei Produkte:
- Gewinn pro Stück A: 3 GE
- Gewinn pro Stück B: 5 GE
Nebenbedingungen:
- [math]\displaystyle{ \begin{aligned} 2x + y &\le 8\\ x + 2y &\le 8\\ x,y &\ge 0 \end{aligned} }[/math]
Zielfunktion:
- [math]\displaystyle{ Z = 3x + 5y \rightarrow \max }[/math]
Zusammenhang zu anderen Themen
- Lösung von Gleichungssystemen: Lineares Gleichungssystem
- Darstellung in Tabellenform: Matrix