Stammfunktion

Eine Funktion zu der die Ableitung gebildet wurde, heißt Stammfunktion. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ermittelt, die sich zwischen dem Graphen der dazugehörigen Ableitungsfunktion und der x-Achse befinden.

Definition

Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] auf einem Intervall [math]\displaystyle{ [a; b] \subseteq \mathbb{R} }[/math] definiert und gibt es eine Funktion [math]\displaystyle{ F }[/math], sodass für alle [math]\displaystyle{ x }[/math] aus diesem Intervall [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x) }[/math] gilt, dann wird [math]\displaystyle{ F }[/math] als eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math] bezeichnet. Die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] heißt dabei die Ableitung von [math]\displaystyle{ F }[/math].

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist die Menge aller Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math], welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R} }[/math] dargestellt werden können

[math]\displaystyle{ \int f(x) dx = F(x) + C }[/math].

Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] und der x-Achse im Intervall [math]\displaystyle{ [0;x] }[/math] wird durch den Funktionswert einer Flächeninhaltsfunktion [math]\displaystyle{ A }[/math] ermittelt.

Es sei [math]\displaystyle{ F }[/math] die Stammfunktion zu einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit der Konstanten [math]\displaystyle{ C=0 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ F }[/math] die Flächeninhaltsfunktion zu [math]\displaystyle{ f }[/math].

Integrationsregeln

Es sei [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math]. Die Stammfunktion [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] wird mit den folgenden Regeln ermittelt:

Potenzregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \neq -1 }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ \int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math].

Faktorregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = c \cdot g(x) }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R} }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ \int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx }[/math].

Summenregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) + h(x) }[/math] gilt: [math]\displaystyle{ \int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx }[/math].

Beispiele

Potenzregel anwenden

Die Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math] lautet: [math]\displaystyle{ \int x^3 , dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C }[/math].

Summenregel anwenden

Für [math]\displaystyle{ h(x) = 2x^2 + 3x^3 }[/math] ergibt sich: [math]\displaystyle{ \int (2x^2 + 3x^3) , dx = \int 2x^2 , dx + \int 3x^3 , dx }[/math]. Berechnung: [math]\displaystyle{ \int 2x^2 , dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{2x^3}{3} }[/math], [math]\displaystyle{ \int 3x^3 , dx = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{3x^4}{4} }[/math]. Zusammen ergibt sich: [math]\displaystyle{ \int (2x^2 + 3x^3) , dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C }[/math].

Graphische Bedeutung der Stammfunktion

Die Stammfunktion [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] beschreibt den Flächeninhalt unter der Kurve [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Dieser Flächeninhalt kann positiv oder negativ sein, je nachdem, ob die Kurve über oder unter der [math]\displaystyle{ x }[/math]-Achse liegt.

Höhere Integrationen

Wird die Stammfunktion erneut integriert, spricht man von mehrfachen Integralen. Diese geben eine Verallgemeinerung des Flächeninhalts für mehrdimensionale Probleme an.

Zusammenhang mit der Ableitung

Während die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] die lokale Änderungsrate angibt, liefert die Stammfunktion [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] eine globale Betrachtung des Funktionsverlaufs. Der Übergang von [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] zu [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] entspricht der Integration, der Übergang von [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] zu [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] der Differentiation.