Stammfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==

Eine Funktion zu der die [[Ableitung]] gebildet wurde, heißt Stammfunktion. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.

~~Die~~ Funktion <math>F(x)</math> ~~beschreibt den Flächeninhalt unter der Funktion~~ <math>f(x)</math> ~~von einem Startwert bis zu einem variablen Endwert~~ <math>x</math>~~, wobei die Konstante~~ <math>C</math> ~~den Startwert beeinflusst~~. ~~Jede Änderung von~~ <math>C</math> ~~verschiebt~~ die ~~Funktion vertikal, ohne ihre~~ Ableitung ~~zu verändern~~.

==Definition==

Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt,

dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> heißt dabei die [[Ableitung]] von <math>F</math>.

==Unbestimmtes Integral==

Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können

:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>.

~~Ist eine~~ Funktion <math>f</math> ~~auf einem~~ Intervall <math>[a; b] ~~\subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x~~</math> ~~aus diesem Intervall gilt:~~

==Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion==

~~<math>F'(x) = f(x)</math>,~~

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt.

~~dann~~ wird ~~<math>F</math> als eine~~ '''~~Stammfunktion~~''' ~~von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> heißt dabei die [[Ableitung]] von~~ <math>F</math>.

~~Das '''unbestimmte Integral''' von~~ <math>f</math> ~~ist~~ die ~~Menge aller Stammfunktionen von~~ <math>f</math>, ~~welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion~~ <math>~~C \in \mathbb{R}~~</math> ~~dargestellt werden können:~~

Es sei <math>F</math> die Stammfunktion zu einer Funktion <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>.

<math>~~\int~~ f~~(x) , dx = F(x) + C~~</math>.

==Integrationsregeln==

Die Stammfunktion <math>F(x)</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:

Es sei <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Die Stammfunktion <math>F(x)</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:

===Potenzregel===

Für <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:

<math>\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.

<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.

===Faktorregel===

Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:

<math>\int c \cdot g(x) , dx = c \cdot \int g(x) , dx</math>.

<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>.

===Summenregel===

Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:

<math>\int ~~\left~~(g(x) + h(x)~~\right~~) , dx = \int g(x) , dx + \int h(x) , dx</math>.

<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>.

==Beispiele==

===Potenzregel anwenden=== Die Stammfunktion von <math>f(x) = x^3</math> lautet:

===Potenzregel anwenden===

Die Stammfunktion von <math>f(x) = x^3</math> lautet:

<math>\int x^3 , dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>.

===Summenregel anwenden=== Für <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> ergibt sich:

===Summenregel anwenden===

Für <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> ergibt sich:

<math>\int (2x^2 + 3x^3) , dx = \int 2x^2 , dx + \int 3x^3 , dx</math>.

Berechnung:

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<math>\int (2x^2 + 3x^3) , dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>.

===Graphische Bedeutung der Stammfunktion=== Die Stammfunktion <math>F(x)</math> beschreibt den Flächeninhalt unter der Kurve <math>f(x)</math>. Dieser Flächeninhalt kann positiv oder negativ sein, je nachdem, ob die Kurve über oder unter der <math>x</math>-Achse liegt.

===Graphische Bedeutung der Stammfunktion===

Die Stammfunktion <math>F(x)</math> beschreibt den Flächeninhalt unter der Kurve <math>f(x)</math>. Dieser Flächeninhalt kann positiv oder negativ sein, je nachdem, ob die Kurve über oder unter der <math>x</math>-Achse liegt.

===Höhere Integrationen=== Wird die Stammfunktion erneut integriert, spricht man von mehrfachen Integralen. Diese geben eine Verallgemeinerung des Flächeninhalts für mehrdimensionale Probleme an.

===Höhere Integrationen===

Wird die Stammfunktion erneut integriert, spricht man von mehrfachen Integralen. Diese geben eine Verallgemeinerung des Flächeninhalts für mehrdimensionale Probleme an.

==Zusammenhang mit der Ableitung== Während die Ableitung <math>f'(x)</math> die lokale Änderungsrate angibt, liefert die Stammfunktion <math>F(x)</math> eine globale Betrachtung des Funktionsverlaufs. Der Übergang von <math>f(x)</math> zu <math>F(x)</math> entspricht der '''Integration''', der Übergang von <math>F(x)</math> zu <math>f(x)</math> der '''Differentiation'''.

==Zusammenhang mit der Ableitung==

Während die Ableitung <math>f'(x)</math> die lokale Änderungsrate angibt, liefert die Stammfunktion <math>F(x)</math> eine globale Betrachtung des Funktionsverlaufs. Der Übergang von <math>f(x)</math> zu <math>F(x)</math> entspricht der '''Integration''', der Übergang von <math>F(x)</math> zu <math>f(x)</math> der '''Differentiation'''.

[[Kategorie:Integralrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-==Definition==
+Eine Funktion zu der die [[Ableitung]] gebildet wurde, heißt Stammfunktion. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.
-Die Funktion <math>F(x)</math> beschreibt den Flächeninhalt unter der Funktion <math>f(x)</math> von einem Startwert bis zu einem variablen Endwert <math>x</math>, wobei die Konstante <math>C</math> den Startwert beeinflusst. Jede Änderung von <math>C</math> verschiebt die Funktion vertikal, ohne ihre Ableitung zu verändern.
+==Definition==
+Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt,
+dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> heißt dabei die [[Ableitung]] von <math>F</math>.
 ==Unbestimmtes Integral==
+Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können
+:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>.
-Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall gilt:
+==Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion==
-<math>F'(x) = f(x)</math>,
+Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt.
-dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> heißt dabei die [[Ableitung]] von <math>F</math>.
-Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können:
+Es sei <math>F</math> die Stammfunktion zu einer Funktion <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>.
-<math>\int f(x) , dx = F(x) + C</math>.
 ==Integrationsregeln==
-Die Stammfunktion <math>F(x)</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
+Es sei <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Die Stammfunktion <math>F(x)</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
 ===Potenzregel===
 Für <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:
-<math>\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.
+<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.
 ===Faktorregel===
 Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:
-<math>\int c \cdot g(x) , dx = c \cdot \int g(x) , dx</math>.
+<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>.
 ===Summenregel===
 Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:
-<math>\int \left(g(x) + h(x)\right) , dx = \int g(x) , dx + \int h(x) , dx</math>.
+<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>.
 ==Beispiele==
-===Potenzregel anwenden=== Die Stammfunktion von <math>f(x) = x^3</math> lautet:
+===Potenzregel anwenden===
+Die Stammfunktion von <math>f(x) = x^3</math> lautet:
 <math>\int x^3 , dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>.
-===Summenregel anwenden=== Für <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> ergibt sich:
+===Summenregel anwenden===
+Für <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> ergibt sich:
 <math>\int (2x^2 + 3x^3) , dx = \int 2x^2 , dx + \int 3x^3 , dx</math>.
 Berechnung:
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 <math>\int (2x^2 + 3x^3) , dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>.
-===Graphische Bedeutung der Stammfunktion=== Die Stammfunktion <math>F(x)</math> beschreibt den Flächeninhalt unter der Kurve <math>f(x)</math>. Dieser Flächeninhalt kann positiv oder negativ sein, je nachdem, ob die Kurve über oder unter der <math>x</math>-Achse liegt.
+===Graphische Bedeutung der Stammfunktion===
+Die Stammfunktion <math>F(x)</math> beschreibt den Flächeninhalt unter der Kurve <math>f(x)</math>. Dieser Flächeninhalt kann positiv oder negativ sein, je nachdem, ob die Kurve über oder unter der <math>x</math>-Achse liegt.
-===Höhere Integrationen=== Wird die Stammfunktion erneut integriert, spricht man von mehrfachen Integralen. Diese geben eine Verallgemeinerung des Flächeninhalts für mehrdimensionale Probleme an.
+===Höhere Integrationen===
+Wird die Stammfunktion erneut integriert, spricht man von mehrfachen Integralen. Diese geben eine Verallgemeinerung des Flächeninhalts für mehrdimensionale Probleme an.
-==Zusammenhang mit der Ableitung== Während die Ableitung <math>f'(x)</math> die lokale Änderungsrate angibt, liefert die Stammfunktion <math>F(x)</math> eine globale Betrachtung des Funktionsverlaufs. Der Übergang von <math>f(x)</math> zu <math>F(x)</math> entspricht der '''Integration''', der Übergang von <math>F(x)</math> zu <math>f(x)</math> der '''Differentiation'''.
+==Zusammenhang mit der Ableitung==
+Während die Ableitung <math>f'(x)</math> die lokale Änderungsrate angibt, liefert die Stammfunktion <math>F(x)</math> eine globale Betrachtung des Funktionsverlaufs. Der Übergang von <math>f(x)</math> zu <math>F(x)</math> entspricht der '''Integration''', der Übergang von <math>F(x)</math> zu <math>f(x)</math> der '''Differentiation'''.
 [[Kategorie:Integralrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]