Kettenregel: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>. | <math>f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)</math>. | ||
==Beweis der Kettenregel== | |||
Wir leiten die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(v(x))</math> ab. | |||
Ableitung durch Grenzwert des [[Ableitung|Differenzenquotienten]] ausdrücken: | |||
: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math> | |||
Da <math> f(x) = u(v(x)) </math>, setzen wir dies in den Differenzenquotienten ein: | |||
: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{h} </math> | |||
Nun erweitern wir durch <math> v(x_0 + h) - v(x_0) </math>, um die Kettenregel herleiten zu können: | |||
: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} \cdot \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \right) </math> | |||
Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von <math>u</math> an der Stelle <math>v(x_0)</math>, der zweite der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math>. | |||
Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt: | |||
- Der erste Term wird zu <math> u'(v(x_0)) </math>, da <math> \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} = u'(v(x_0)) </math>. | |||
- Der zweite Term wird zu <math> v'(x_0) </math>, weil dies der Differenzenquotient von <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math> ist. | |||
Damit erhalten wir die Kettenregel: | |||
: <math> f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) </math> | |||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
Version vom 12. September 2024, 08:31 Uhr
Die Kettenregel ist wie die Produktregel eine Regel zum Ableiten von Funktionen.
Definition
Sind [math]\displaystyle{ u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] differenzierbare Funktionen, so ist auch
- [math]\displaystyle{ f(x) = u(v(x)) }[/math] für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{D} }[/math]
differenzierbar. Für die Ableitung von [math]\displaystyle{ f }[/math] gilt
[math]\displaystyle{ f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) }[/math].
Beweis der Kettenregel
Wir leiten die Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit der Funktionsvorschrift [math]\displaystyle{ f(x)=u(v(x)) }[/math] ab.
Ableitung durch Grenzwert des Differenzenquotienten ausdrücken:
- [math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} }[/math]
Da [math]\displaystyle{ f(x) = u(v(x)) }[/math], setzen wir dies in den Differenzenquotienten ein:
- [math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{h} }[/math]
Nun erweitern wir durch [math]\displaystyle{ v(x_0 + h) - v(x_0) }[/math], um die Kettenregel herleiten zu können:
- [math]\displaystyle{ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} \cdot \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \right) }[/math]
Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von [math]\displaystyle{ u }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ v(x_0) }[/math], der zweite der Differenzenquotient von [math]\displaystyle{ v }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt:
- Der erste Term wird zu [math]\displaystyle{ u'(v(x_0)) }[/math], da [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{u(v(x_0 + h)) - u(v(x_0))}{v(x_0 + h) - v(x_0)} = u'(v(x_0)) }[/math]. - Der zweite Term wird zu [math]\displaystyle{ v'(x_0) }[/math], weil dies der Differenzenquotient von [math]\displaystyle{ v }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ist.
Damit erhalten wir die Kettenregel:
- [math]\displaystyle{ f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) }[/math]