Natürliche Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Herleitung der Euler'schen Zahl e== | ==Herleitung der Euler'schen Zahl e== | ||
Wir verwenden, dass die [[Exponentialfunktion#Ableitung|Ableitung]] einer Exponentialfunktion der Form <math>f( | Wir verwenden, dass die [[Exponentialfunktion#Ableitung|Ableitung]] einer Exponentialfunktion der Form <math>f(x)=a^x</math> durch <math>f'(x)=ca^x</math> gegeben ist. Wir setzen <math>c=1</math> und ermitteln eine Basis <math>a</math>, so dass <math> f(x)=a^x </math> die Ableitung <math>f'(x)=a^x</math> hat: | ||
<math> c=1</math> | <math> c=1</math> | ||
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Lassen wir <math>h</math> gegen 0 laufen, erhalten wir <math>a \approx 2,71828... </math>. | Lassen wir <math>h</math> gegen 0 laufen, erhalten wir <math>a \approx 2,71828... </math>. | ||
Diese Zahl heißt Euler'sche Zahl <math>e</math>. Die Funktion <math>f(x)=e^x</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. | Diese Zahl heißt Euler'sche Zahl <math>e</math>. Die Funktion <math>f(x)=e^x</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung <math>f'(x)=e^x</math>. | ||
==Definition== | ==Definition== | ||
Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. | Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. | ||