Stetige Funktion

In der Mathematik ist ein stetige Funktion eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des x-Wertes nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswertes nach sich ziehen können. Anschaulich bedeutet es, dass der Graph einer stetigen Funktion als eine durchgängige Linie, ohne Sprünge, gezeichnet werden kann.

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{D}_f \to \R }[/math] eine Funktion.

Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium:

[math]\displaystyle{ f }[/math] heißt stetig in [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_f }[/math], wenn zu jedem [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] ein [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] existiert, so dass für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{D}_f }[/math] mit

[math]\displaystyle{ |x - x_0| \lt \delta }[/math]

gilt:

[math]\displaystyle{ |f(x) - f(x_0)| \lt \varepsilon }[/math].

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung [math]\displaystyle{ \delta }[/math] im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.

Definition mittels Grenzwerten:

[math]\displaystyle{ f }[/math] heißt stetig in [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], wenn der Grenzwert [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0} f(x) }[/math] existiert und mit dem Funktionswert [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] übereinstimmt, wenn also gilt:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) }[/math].

Ist diese Bedingung für ein [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_f }[/math] nicht erfüllt, so nennt man [math]\displaystyle{ f }[/math] unstetig in [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Beispiele

Unstetige Funktionen

Graph der unstetigen Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x, & \text{wenn }x\le 1\\ x+1, & \text{wenn }x \gt 1 \end{cases} }[/math]

Die Funktion

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x, & \text{wenn }x\le 1\\ x+1, & \text{wenn }x \gt 1 \end{cases} }[/math]

springt an der Stelle [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2.