Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen haben die Form $f(x)=c\cdot a^x$ und spielen insbesondere in Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle. Dazu gehören der Zinseszinseffekt, der Bevölkerungswachstum oder die Ausbreitung von Infektionskrankheiten.

Definition

Eine Funktion $f:{\mathbb{D}}_f\to \mathbb{R}$ der Form $f(x)=c\cdot a^x$ mit $a,c\in \mathbb{R},a\ge 0,a\ne 1$ heißt allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a. $c$ ist der y-Achsenabschnitt.

Ableitung

Für die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis $a$ der Form $f(x)=a^x$ gilt:

$f^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^{t+h}-a^t}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^t\cdot a^h-a^t}{h}=(\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h})a^t=c\cdot a^t$ mit $c=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}$.

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis $a$ und dem y-Achsenabschnitt $c=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}$. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: $\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}=ln(a)$

Also gilt $f^{\prime }(x)=ln(a)a^x$.

Verlauf der Graphen von Exponentialfunktion

Graphen der Exponentialfunktionen $g_1(x)=2\cdot 3^x$, $g_2(x)=2\cdot 0,3^x$, $g_3(x)=-2\cdot 3^x$, $g_4(x)=-2\cdot 0,3^x$

Gegeben sei eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a.

• Gilt $c>0$ und $a>1$ ist der Graph streng monoton steigend und eine Linkskurve. Wir nennen das positives Wachstum.
• Gilt $c>0$ und $0<a<1$ ist der Graph streng monoton fallend und eine Linkskurve. Wir nennen das negatives Wachstum.
• Gilt $c<0$ und $0<a<1$ ist der Graph streng monoton steigend und eine Rechtskurve.
• Gilt $c<0$ und $a>1$ ist der Graph streng monoton fallend und eine Rechtskurve.

Spiegelbildliche Exponentialfunktionen

Die Exponentialfunktionen $f_1(x)=c\cdot a^x$ und $f_2(x)=c\cdot (\frac{1}{a}{)}^x$ mit $a,c\in \mathbb{R},a\ge 0,a\ne 1$ sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.

Erweiterte Form

Eine Funktion $f:{\mathbb{D}}_f\to \mathbb{R}$ der Form $f(x)=c\cdot a^x+d$ mit $a,c,d\in \mathbb{R},a\ge 0,a\ne 1$ heißt erweiterte Exponentialfunktion. Die Gerade $y=d$ bezeichnen wir als Asymptote. Der y-Achsenabschnitt ist $c+d$.

Nullstellen

Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis $a$ der Form $f(x)=c\cdot a^x$ mit $a,c\in \mathbb{R},a\ge 0,a\ne 1$ hat keine Nullstellen.

Die Nullstelle der erweiterten Form existiert, falls $\frac{d}{c}<0$ sowie $a>0$ gilt und wird durch

$f(x)=0$

$c\cdot a^x+d=0$

$c\cdot a^x=-d$

$a^x=-\frac{d}{c}$

$x=lo{g}_a(-\frac{d}{c})=\frac{log(-\frac{d}{c})}{log(a)}$

ermittelt.

Beispiele

Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen

Graphen der Exponentialfunktionen $f_1(x)=4^x$, $f_2(x)=6^x$, $f_3(x)=0,7^x$, $f_4(x)=0,3^x$ mit verschiedenen Basen

Wir betrachten die Exponentialfunktionen $f_1(x)=4^x,f_2(x)=6^x,f_3(x)=0,7^x,f_4(x)=0,3^x$. Die Basis für die Funktion $f_1$ ist $a=4$, für jede der Funktionen gilt $c=1$.

Der y-Achsenabschnitt der Funktion $f_1$ wird durch $f_1(0)=4^0=1$ berechnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse beträgt $S_y(0|1)$.

Die Graphen der Funktionen $f_1$ und $f_2$ zeigen positives Wachstum. Die Graphen der Funktionen $f_3$ und $f_4$ zeigen negatives Wachstum.

Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren

Graphen der Exponentialfunktionen $f_5(x)=5\cdot 3^x$, $f_6(x)=0,2\cdot 3^x$, $f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,$ $f_8(x)=(-4)\cdot 3^x$ mit verschienden Faktoren

Wir betrachten die Exponentialfunktionen $f_5(x)=5\cdot 3^x,f_6(x)=0,2\cdot 3^x,f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,f_8(x)=(-4)\cdot 3^x$. Für die y-Achsenabschnitte gilt $f_5(0)=5\cdot 3^0=5,f_6(0)=0,2\cdot 3^0=0,2,f_7(x)=(-3)\cdot 3^0=-3,f_8(x)=(-4)\cdot 3^0=-4$. Die Schnittpunkte mit der y-Achse lassen sich in den Graphen ablesen. Beispielsweise ist für $f_5$ der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|5)$.

Die Nullstelle von $f_5$ wird durch

$f_5(x)=0$

$5\cdot 3^x=0$

berechnet. Es $5\cdot 3^x\ne 0$ für jedes $x\in \mathbb{R}$. Daher hat $f_5$ keine Nullstellen.

Spiegelbildliche Exponentialfunktionen

Graphen der Funktionen $f_9(x)=2^x$ und $f_{10}(x)=(\frac{1}{2}{)}^x$

Die Graphen der Funktionen $f_9(x)=2^x$ und $f_{10}(x)=(\frac{1}{2}{)}^x$ sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse.

Beschränkter Wachstumsprozess

Graph der Exponentialfunktion $h(t)=(-190)\cdot 0,7^t+210$

Wir backen ein schmackhaftes Zwiebelbrot bei 210 °C und messen die Temperatur des Brotes im Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 45 minütigen Backprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form $h(t)=c\cdot a^t+d$. Dabei ist $t$ in Minuten und $h(t)$ in °C angegeben. Aufgrund der Backtemperatur von 210 °C, kann das Brot nicht wärmer als 210 °C werden, daher gilt $d=210$.

Da der Backprozess 45 Minuten andauert, ist der Definitionsbereich ${\mathbb{D}}_h=[0;45]$. Temperaturmessungen des Zwiebelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt $t=0$ die Temperatur 20 °C und zum Zeitpunkt $t=1$ die Temperatur 77 °C beträgt. Damit gilt

$h(0)=c\cdot a^0+210$

$20=c+210$

$-190=c$

Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form $h(t)=(-190)\cdot a^t+210$. Wir müssen die Basis $a$ bestimmen:

$h(1)=(-190)\cdot a^1+210$

$77=(-190)\cdot a+210$

$-133=(-190)\cdot a$

$0,7=a$

Die erweiterte Exponentialfunktion $h(t)=(-190)\cdot 0,7^t+210$ modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. $y=210$ ist die Asymptote, da für alle $t\in {\mathbb{D}}_h$ gilt, dass $-190\cdot 0,7^t<0$ ist. Der Graph von $h$ nähert sich also der Geraden $y=20$ beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von $h$ streng monoton steigend und eine Rechtskurve, daher beschreibt $h$ einen beschränkten Wachstumsprozess.

Beschränkter Abnahmeprozess

Graph der Exponentialfunktion $f(t)=180\cdot 0,8^t+20$

Wir nehmen das fertig gebackene Brot aus dem Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 30-minütigen Abkühlungsprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form $f(t)=c\cdot a^t+d$. Dabei ist $t$ in Minuten und $f(t)$ in °C angegeben. Aufgrund der Raumtemperatur, kann das Brot nicht kälter als 20 °C werden, daher gilt $d=20$.

Da der Abkühlungsprozess 30 Minuten andauert, ist der Definitionsbereich ${\mathbb{D}}_f=[0;30]$. Temperaturmessungen des Zwiebelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt $t=0$ die Temperatur 200 °C und zum Zeitpunkt $t=1$ die Temperatur 164 °C beträgt. Damit gilt

$f(0)=c\cdot a^0+20$

$200=c+20$

$180=c$

Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form $f(t)=180\cdot a^t+20$. Wir müssen die Basis $a$ bestimmen:

$f(1)=180\cdot a^1+20$

$164=180\cdot a+20$

$144=180\cdot a$

$0,8=a$

Die erweiterte Exponentialfunktion $f(t)=180\cdot 0,8^t+20$ modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. $y=20$ ist die Asymptote, da für alle $t\in {\mathbb{D}}_f$ gilt, dass $180\cdot 0,8^t>0$ ist. Der Graph von $f$ nähert sich also der Geraden $y=20$ beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von $f$ streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt $f$ einen beschränkten Abnahmeprozess.