Baumdiagramm (Wahrscheinlichkeitsrechnung)

Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung zur Veranschaulichung mehrstufiger Zufallsexperimente. Es dient dazu, alle möglichen Ausgänge und Ergebnisse des Experiments übersichtlich zu strukturieren sowie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung mithilfe der Pfadregeln zu ermitteln.

Aufbau eines Baumdiagramms

Ein Baumdiagramm verzweigt sich von links nach rechts (oder von oben nach unten) über die einzelnen Stufen des Zufallsversuchs:

• Wurzel (Startknoten): Der Ausgangspunkt vor Beginn des Zufallsexperiments.
• Kanten (Zweige / Äste): Sie stellen die einzelnen Teilschritte bzw. Entscheidungen einer Stufe dar. Jeder Zweig wird mit der jeweiligen Stufenwahrscheinlichkeit beschriftet (bei stochastischer Abhängigkeit mit der entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeit).
• Knoten: Die Verzweigungspunkte stellen erreichte Zwischenzustände nach einer Stufe dar.
• Pfade: Eine zusammenhängende Kette von Kanten, die an der Wurzel beginnt und an einem Endknoten (Blatt) endet, heißt Pfad. Jeder vollständige Pfad repräsentiert genau ein Elementarergebnis [math]\displaystyle{ e \in \Omega }[/math] des Gesamtexperiments.
• Endknoten: Am Ende jedes Pfades wird das resultierende Ergebnis notiert, meist zusammen mit der berechneten Pfadwahrscheinlichkeit.

Pfadregeln zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

Zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm gelten zwei fundamentale Regeln:

1. Pfadregel (Pfadmultiplikationsregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (also eines vollständigen Pfades von der Wurzel zum Endknoten) ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang der Kanten dieses Pfades.

Für einen Pfad mit den Stufenwahrscheinlichkeiten [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \dots, p_n }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ P(e) = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n }[/math]

Bei abhängigen Ereignissen entspricht dies dem Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten:

[math]\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) }[/math]

2. Pfadregel (Pfadadditionsregel)

Setzt sich ein Ereignis [math]\displaystyle{ E }[/math] aus mehreren Pfaden (Ergebnissen) zusammen, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen günstigen Pfade.

[math]\displaystyle{ P(E) = \sum_{e \in E} P(e) }[/math]

Knotenregel (Verzweigungsregel)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Zweige, die von einem gemeinsamen Knoten ausgehen, beträgt stets genau [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (bzw. [math]\displaystyle{ 100\,\% }[/math]):

[math]\displaystyle{ \sum p_{\text{Zweig}} = 1 }[/math]

Beispiel: Dreifacher Münzwurf

Grafische Modellierung im Baumdiagramm

Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs

Eine faire Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Bei jedem Wurf kann entweder Zahl (Z) oder Kopf (K) fallen. Die Ergebnismenge des Gesamtexperiments lautet:

[math]\displaystyle{ \Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\} }[/math]

• Vom Startknoten führen zwei Kanten zu den Knoten [math]\displaystyle{ \mathrm{Z} }[/math] und [math]\displaystyle{ \mathrm{K} }[/math] (1. Wurf).
• Von diesen beiden Knoten verzweigt sich der Baum in der 2. Stufe erneut in jeweils [math]\displaystyle{ \mathrm{Z} }[/math] und [math]\displaystyle{ \mathrm{K} }[/math].
• In der 3. Stufe entstehen so insgesamt [math]\displaystyle{ 2^3 = 8 }[/math] Pfade und Endknoten.
• Der Pfad [math]\displaystyle{ \text{Start} \to \mathrm{Z} \to \mathrm{K} \to \mathrm{Z} }[/math] beschreibt beispielsweise das Ergebnis: 1. Wurf Zahl, 2. Wurf Kopf, 3. Wurf Zahl ([math]\displaystyle{ \mathrm{ZKZ} }[/math]).

Betrachtet man das Ereignis [math]\displaystyle{ B }[/math]: „Es erscheint mindestens zweimal hintereinander Zahl“, so umfasst dieses die Pfade:

[math]\displaystyle{ B = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{KZZ}\} }[/math]

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten

Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs mit Wahrscheinlichkeiten

Da die Münze ideal ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit bei jedem Einzelwurf für Kopf bzw. Zahl jeweils [math]\displaystyle{ p = 0{,}5 }[/math].

Definiert man eine Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] als die Anzahl der Treffer „Zahl“, so kann [math]\displaystyle{ X }[/math] die Werte [math]\displaystyle{ k \in \{0, 1, 2, 3\} }[/math] annehmen.

Anwendung der 1. Pfadregel (Pfadmultiplikation): Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis [math]\displaystyle{ \mathrm{ZZZ} }[/math] (dreimal Zahl) berechnet sich durch Multiplikation der Kantenwahrscheinlichkeiten:

[math]\displaystyle{ P(\mathrm{ZZZ}) = P(X = 3) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125 = 12{,}5\,\% }[/math]

Da alle 8 Pfade dieselben Kantenwahrscheinlichkeiten besitzen, hat jeder der 8 Pfade die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(e) = 0{,}125 }[/math] (es liegt ein Laplace-Experiment vor).

Anwendung der 2. Pfadregel (Pfadaddition):

• Ereignis [math]\displaystyle{ A }[/math]: „Die ersten beiden Würfe ergeben Zahl“ ([math]\displaystyle{ A = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}\} }[/math]):

[math]\displaystyle{ P(A) = P(\mathrm{ZZZ}) + P(\mathrm{ZZK}) = 0{,}125 + 0{,}125 = 0{,}250 = 25{,}0\,\% }[/math]

• Ereignis [math]\displaystyle{ B }[/math]: „Mindestens zweimal hintereinander Zahl“ ([math]\displaystyle{ B = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{KZZ}\} }[/math]):

[math]\displaystyle{ P(B) = P(\mathrm{ZZZ}) + P(\mathrm{ZZK}) + P(\mathrm{KZZ}) = 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 = 0{,}375 = 37{,}5\,\% }[/math]

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math]

Fasst man die Pfadwahrscheinlichkeiten nach den Werten der Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math] zusammen, ergibt sich die folgende Verteilungstabelle:

Wert [math]\displaystyle{ k }[/math] (Anzahl Zahl)	Günstige Pfade aus [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]	Anzahl Pfade	Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(X = k) }[/math]
0	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{KKK}\} }[/math]	1	[math]\displaystyle{ 1 \cdot 0{,}125 = 0{,}125 }[/math] ([math]\displaystyle{ 12{,}5\,\% }[/math])
1	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{ZKK}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}\} }[/math]	3	[math]\displaystyle{ 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375 }[/math] ([math]\displaystyle{ 37{,}5\,\% }[/math])
2	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{KZZ}\} }[/math]	3	[math]\displaystyle{ 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375 }[/math] ([math]\displaystyle{ 37{,}5\,\% }[/math])
3	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{ZZZ}\} }[/math]	1	[math]\displaystyle{ 1 \cdot 0{,}125 = 0{,}125 }[/math] ([math]\displaystyle{ 12{,}5\,\% }[/math])
Summe		8	[math]\displaystyle{ 1{,}000 }[/math] ([math]\displaystyle{ 100\,\% }[/math])