Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

(17 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)

Zeile 1:

Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis, einem Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.

==~~Variable~~==

==Definition==

Eine '''Variable''' ~~ist ein Name bzw~~. ~~eine Bezeichnung für einen~~ Wert oder ~~einen mathematischen Ausdruck~~. ~~Variablen werden häufig mit~~ <math>x</math> ~~oder~~ <math>y</math> ~~bezeichnet~~.

Eine [[Zuordnung]], die jeder Zahl aus einer Menge genau eine reelle Zahl zuordnet, heißt '''Funktion'''. Für eine [[Variable]] x wird der <math>x</math>-Wert als '''Stelle''' bezeichnet. Die einem <math>x</math>-Wert mittels einer Funktion <math>f</math> eindeutig zugeordnete Zahl heißt '''Funktionswert''' von <math>f</math> an der Stelle <math>x</math> oder <math>y</math>-Wert. Wir schreiben dann <math>f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W}</math>, <math>x \mapsto y</math> (<math>x</math> wird <math>y</math> zugeordnet) mit dem [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}</math> und dem [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Wertebereich]] <math>\mathbb{W}</math>.

~~===Beispiel: Geschwindigkeit als Variable===~~

Ein '''Punkt''' besteht aus <math>x</math>- und <math>y</math>-Wert, wir schreiben <math>(x|y)</math>. Zeichnen wir die Punkte in ein Koordinatensystem, erhalten wir den '''[[Graph]]''' der Funktion <math>f</math>.

Wir definieren die Variable <math>x</math>, Geschwindigkeit in km/h mit der wir fahren. <math>x=2</math> bedeutet dann, dass die Geschwindigkeit mit der wir fahren <math>2 \frac{km}{h}</math> beträgt. <math>x=50</math> bedeutet, dass die Geschwindigkeit mit der wir fahren <math>50 \frac{km}{h}</math> beträgt. Wenn wir maximal <math>100 \frac{km}{h}</math> fahren können, kann <math>x</math> Werte zwischen <math>0</math> und <math>100</math> annehmen.

~~===Beispiel: Preis als Variable===~~

~~Wir definieren die Variable <math>y</math>, Preis in <math>\text{€}</math> für Schuhe. <math>x=100</math> bedeutet dann, dass der Preis für die Schuhe <math>100 \text{€}</math> beträgt.~~

~~==Zuordnung==~~

Bei der mathematischen Beschreibung einer Situation („Modellierung“) hängen häufig unterschiedliche Größen voneinander ab, z. B. Preis und Menge, Weg und Zeit, Bremsweg und Geschwindigkeit. Wir sprechen dann von einer '''Zuordnung'''.

~~==Funktion==~~

Eine Zuordnung, die jeder Zahl <math>x</math> aus einer Menge genau eine reelle Zahl <math>y</math> zuordnet, heißt '''Funktion'''. Ein <math>x</math>-Wert wird auch als '''Stelle''' bezeichnet. Die einer Zahl <math>x</math> mittels einer Funktion <math>f</math> eindeutig zugeordnete Zahl <math>y</math> heißt '''Funktionswert''' von <math>f</math> an der Stelle <math>x</math>. Ein '''Punkt''' besteht aus <math>x</math>- und <math>y</math>-Wert, wir schreiben <math>(x|y)</math>. Zeichnen wir die Punkte in ein Koordinatensystem, erhalten wir den '''Graph''' der Funktion <math>f</math>.

Zeile 22:

Zeile 12:

Die Menge aller <math>x</math>-Werte, denen durch eine Funktion <math>f</math> ein Funktionswert zugeordnet wird, heißt Definitionsmenge oder Definitionsbereich. Diese Menge wird meist mit <math>\mathbb{D}_f</math> bezeichnet. Die Menge aller Funktionswerte heißt Wertemenge oder Wertebereich und wird mit <math>\mathbb{W}_f</math> bezeichnet.

===Beispiel===

Wir betrachten den rechten Graphen:

Wir betrachten den rechten [[Graph|Graphen]]:

Der Definitionsbereich von <math>f</math> ist das Intervall von <math>x = -2</math> bis <math>x = 6</math>. Also: <math> \mathbb{D}_f = [-2; 6]</math>

Zeile 36:

Zeile 26:

==Beispiele==

~~===Temperatur als Zuordnung darstellen===~~

Die folgende Tabelle zeigt eine Zuordnung, die keine Funktion ist, weil dem <math>x</math>-Wert 1 die beiden <math>y</math>-Werte <math>-1</math> und <math>5</math> zugeordnet werden. In dem Monat Januar wurden also die Temperaturen -1 °C und 5 °C gemessen.

~~[[Datei:FunktionenGraphEinerFunktion.png|mini|rechts|Graph von <math>f(x)=7x+2</math> mit <math>A(1|9)</math>]]~~

~~{| class="wikitable"~~

~~!x (Monat)~~

~~!y (Temperatur in °C)~~

|-

|1

~~| -1~~

|-

|1

~~| -5~~

|-

|2

~~|25~~

|}

===Aktienkurs als Funktion darstellen===

Die Variable <math>x</math> bezeichnet den Monat. <math>f</math> mit <math>f(x)=7x+2</math> ist eine Funktion, weil für jeden <math>x</math>-Wert genau ein Funktionswert berechnet wird. Durch <math>f</math> wird der durchschnittliche Kurs einer Aktie in € für den jeweiligen Monat berechnet werden. Der Funktionswert von <math>f</math> an der Stelle <math>x=1</math> berechnet sich beispielsweise durch <math>f(1)=7 \cdot 1+2=9</math>. Der Punkt <math>A(1|9)</math> liegt auf dem Graphen der Funktion <math>f</math>. Im Monat <math>1</math> liegt der durchschnittliche Kurs der Aktie also bei <math>9</math> €. Die <math>x</math>-Werte gehen nur von 1 bis 12, also gilt <math>\mathbb{D}_f=[1;12]</math>. Die Funktionswerte gehen von 9 bis 86, also gilt <math>\mathbb{W}_f=[9;86]</math> Dabei entspricht die 1 dem Januar und die 12 entspricht Dezember.

[[Datei:FunktionenGraphEinerFunktion.png|mini|rechts|[[Graph]] von <math>f(x)=7x+2</math> mit <math>A(1|9)</math>]]

Die Variable <math>x</math> bezeichnet den Monat. <math>f</math> mit <math>f(x)=7x+2</math> ist eine Funktion, weil für jeden <math>x</math>-Wert genau ein Funktionswert berechnet wird. Durch <math>f</math> wird der durchschnittliche Kurs einer Aktie in € für den jeweiligen Monat berechnet werden. Der Funktionswert von <math>f</math> an der Stelle <math>x=1</math> berechnet sich beispielsweise durch <math>f(1)=7 \cdot 1+2=9</math>. Der Punkt <math>A(1|9)</math> liegt auf dem [[Graph|Graphen]] der Funktion <math>f</math>. Im Monat <math>1</math> liegt der durchschnittliche Kurs der Aktie also bei <math>9</math> €. Die <math>x</math>-Werte gehen nur von 1 bis 12, also gilt <math>\mathbb{D}_f=[1;12]</math>. Die Funktionswerte gehen von 9 bis 86, also gilt <math>\mathbb{W}_f=[9;86]</math> Dabei entspricht die 1 dem Januar und die 12 entspricht Dezember.

~~==Funktionsarten und Themen==~~

~~Wir unterscheiden unterschiedlich Arten von Funktionen, Themen und Anwendungen:~~

~~===[[Lineare Funktionen]]===~~

~~Lineare Funktionen werden verwendet, um eine [[Gewinnanalyse]] oder eine [[Marktanalyse]] durchzuführen.~~

~~===[[Quadratische Funktionen]]===~~

~~Quadratische Funktionen werden hauptsächlich für eine [[Marktanalyse]] verwendet.~~

~~===[[Ganzrationale Funktionen]]===~~

~~Wir verwenden ganzrationale Funktionen um eine [[Gewinnanalyse]] durchzuführen~~.

~~===~~[[~~Differentialrechnung~~]]~~===~~

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

~~Bei der Differentialrechnung führen wir die~~ [[~~Gewinnanalyse~~]] ~~sehr detailliert durch.~~

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis, einem Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.
-==Variable==
+==Definition==
-Eine '''Variable''' ist ein Name bzw. eine Bezeichnung für einen Wert oder einen mathematischen Ausdruck. Variablen werden häufig mit <math>x</math> oder <math>y</math> bezeichnet.
+Eine [[Zuordnung]], die jeder Zahl aus einer Menge <u>genau eine</u> reelle Zahl zuordnet, heißt '''Funktion'''. Für eine [[Variable]] x wird der <math>x</math>-Wert als '''Stelle''' bezeichnet. Die einem <math>x</math>-Wert mittels einer Funktion <math>f</math> eindeutig zugeordnete Zahl heißt '''Funktionswert''' von <math>f</math> an der Stelle <math>x</math> oder <math>y</math>-Wert. Wir schreiben dann <math>f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W}</math>, <math>x \mapsto y</math> (<math>x</math> wird <math>y</math> zugeordnet) mit dem [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}</math> und dem [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Wertebereich]] <math>\mathbb{W}</math>.
-===Beispiel: Geschwindigkeit als Variable===
+Ein '''Punkt''' besteht aus <math>x</math>- und <math>y</math>-Wert, wir schreiben <math>(x|y)</math>. Zeichnen wir die Punkte in ein Koordinatensystem, erhalten wir den '''[[Graph]]''' der Funktion <math>f</math>.
-Wir definieren die Variable <math>x</math>, Geschwindigkeit in km/h mit der wir fahren. <math>x=2</math> bedeutet dann, dass die Geschwindigkeit mit der wir fahren <math>2 \frac{km}{h}</math> beträgt. <math>x=50</math> bedeutet, dass die Geschwindigkeit mit der wir fahren <math>50 \frac{km}{h}</math> beträgt. Wenn wir maximal <math>100 \frac{km}{h}</math> fahren können, kann <math>x</math> Werte zwischen <math>0</math> und <math>100</math> annehmen.
-===Beispiel: Preis als Variable===
-Wir definieren die Variable <math>y</math>, Preis in <math>\text{€}</math> für Schuhe. <math>x=100</math> bedeutet dann, dass der Preis für die Schuhe <math>100 \text{€}</math> beträgt.
-==Zuordnung==
-Bei der mathematischen Beschreibung einer Situation („Modellierung“) hängen häufig unterschiedliche Größen voneinander ab, z. B. Preis und Menge, Weg und Zeit, Bremsweg und Geschwindigkeit. Wir sprechen dann von einer '''Zuordnung'''.
-==Funktion==
-Eine Zuordnung, die jeder Zahl <math>x</math> aus einer Menge <u>genau eine</u> reelle Zahl <math>y</math> zuordnet, heißt '''Funktion'''. Ein <math>x</math>-Wert wird auch als '''Stelle''' bezeichnet. Die einer Zahl <math>x</math> mittels einer Funktion <math>f</math> eindeutig zugeordnete Zahl <math>y</math> heißt '''Funktionswert''' von <math>f</math> an der Stelle <math>x</math>. Ein '''Punkt''' besteht aus <math>x</math>- und <math>y</math>-Wert, wir schreiben <math>(x|y)</math>. Zeichnen wir die Punkte in ein Koordinatensystem, erhalten wir den '''Graph''' der Funktion <math>f</math>.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/k4FtfhhVfYA?si=VpkaGkXquWjUd7WZ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
@@ Zeile 22: / Zeile 12: @@
 Die Menge aller <math>x</math>-Werte, denen durch eine Funktion <math>f</math> ein Funktionswert zugeordnet wird, heißt <strong>Definitionsmenge</strong> oder <strong>Definitionsbereich</strong>. Diese Menge wird meist mit <math>\mathbb{D}_f</math> bezeichnet. Die Menge aller Funktionswerte heißt <strong>Wertemenge</strong> oder <strong>Wertebereich</strong> und wird mit <math>\mathbb{W}_f</math> bezeichnet.
 ===Beispiel===
-Wir betrachten den rechten Graphen:
+Wir betrachten den rechten [[Graph|Graphen]]:
 Der <span style="color:red"> Definitionsbereich </span> von <math>f</math> ist das Intervall von <math>x = -2</math> bis <math>x = 6</math>. Also: <math> \mathbb{D}_f = [-2; 6]</math>
@@ Zeile 36: / Zeile 26: @@
 ==Beispiele==
-===Temperatur als Zuordnung darstellen===
-Die folgende Tabelle zeigt eine Zuordnung, die keine Funktion ist, weil dem <math>x</math>-Wert 1 die beiden <math>y</math>-Werte <math>-1</math> und <math>5</math> zugeordnet werden. In dem Monat Januar wurden also die Temperaturen -1 °C und 5 °C gemessen.
-[[Datei:FunktionenGraphEinerFunktion.png|mini|rechts|Graph von <math>f(x)=7x+2</math> mit <math>A(1|9)</math>]]
-{| class="wikitable"
-!x (Monat)
-!y (Temperatur in °C)
-|-
-|1
-| -1
-|-
-|1
-| -5
-|-
-|2
-|25
-|}
 ===Aktienkurs als Funktion darstellen===
-Die Variable <math>x</math> bezeichnet den Monat. <math>f</math> mit <math>f(x)=7x+2</math> ist eine Funktion, weil für jeden <math>x</math>-Wert genau ein Funktionswert berechnet wird. Durch <math>f</math> wird der durchschnittliche Kurs einer Aktie in € für den jeweiligen Monat berechnet werden. Der Funktionswert von <math>f</math> an der Stelle <math>x=1</math> berechnet sich beispielsweise durch <math>f(1)=7 \cdot 1+2=9</math>. Der Punkt <math>A(1|9)</math> liegt auf dem Graphen der Funktion <math>f</math>. Im Monat <math>1</math> liegt der durchschnittliche Kurs der Aktie also bei <math>9</math> €. Die <math>x</math>-Werte gehen nur von 1 bis 12, also gilt <math>\mathbb{D}_f=[1;12]</math>. Die Funktionswerte gehen von 9 bis 86, also gilt <math>\mathbb{W}_f=[9;86]</math> Dabei entspricht die 1 dem Januar und die 12 entspricht Dezember.
+[[Datei:FunktionenGraphEinerFunktion.png|mini|rechts|[[Graph]] von <math>f(x)=7x+2</math> mit <math>A(1|9)</math>]]
+Die Variable <math>x</math> bezeichnet den Monat. <math>f</math> mit <math>f(x)=7x+2</math> ist eine Funktion, weil für jeden <math>x</math>-Wert genau ein Funktionswert berechnet wird. Durch <math>f</math> wird der durchschnittliche Kurs einer Aktie in € für den jeweiligen Monat berechnet werden. Der Funktionswert von <math>f</math> an der Stelle <math>x=1</math> berechnet sich beispielsweise durch <math>f(1)=7 \cdot 1+2=9</math>. Der Punkt <math>A(1|9)</math> liegt auf dem [[Graph|Graphen]] der Funktion <math>f</math>. Im Monat <math>1</math> liegt der durchschnittliche Kurs der Aktie also bei <math>9</math> €. Die <math>x</math>-Werte gehen nur von 1 bis 12, also gilt <math>\mathbb{D}_f=[1;12]</math>. Die Funktionswerte gehen von 9 bis 86, also gilt <math>\mathbb{W}_f=[9;86]</math> Dabei entspricht die 1 dem Januar und die 12 entspricht Dezember.
-==Funktionsarten und Themen==
-Wir unterscheiden unterschiedlich Arten von Funktionen, Themen und Anwendungen:
-===[[Lineare Funktionen]]===
-Lineare Funktionen werden verwendet, um eine [[Gewinnanalyse]] oder eine [[Marktanalyse]] durchzuführen.
-===[[Quadratische Funktionen]]===
-Quadratische Funktionen werden hauptsächlich für eine [[Marktanalyse]] verwendet.
-===[[Ganzrationale Funktionen]]===
-Wir verwenden ganzrationale Funktionen um eine [[Gewinnanalyse]] durchzuführen.
-===[[Differentialrechnung]]===
+[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
-Bei der Differentialrechnung führen wir die [[Gewinnanalyse]] sehr detailliert durch.
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]