Vierfeldertafel: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zur ~~graphischen~~ Darstellung von [[Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.

Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zur tabellarischen und strukturierten Darstellung von [[Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.

==Definition==

== Definition ==

Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine ~~tabellarische Darstellung~~, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die ~~übersichtliche~~ Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].

Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine Übersicht, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die schnelle Bestimmung von Schnittmengen und bildet die Basis für die Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].

Die Vierfeldertafel besteht aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. <math>A</math> und <math>B</math>) sowie deren Gegenereignisse (<math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math>) abbilden. Zusätzlich werden die ~~Randsummen~~ (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten zu verdeutlichen.

Die Vierfeldertafel besteht im Kern aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. <math>A</math> und <math>B</math>) sowie deren Gegenereignisse (<math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math>) abbilden. Zusätzlich werden an den Rändern die sogenannten Randwahrscheinlichkeiten (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse zu verdeutlichen.

==Aufbau einer Vierfeldertafel==

== Aufbau einer Vierfeldertafel ==

Eine Vierfeldertafel hat folgende Struktur:

Eine Vierfeldertafel hat bezüglich relativer Wahrscheinlichkeiten standardmäßig folgende Struktur:

{| class="wikitable"

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|}

Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.

Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich stets aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.

~~==Beispiele==~~

''Prüfungshinweis:'' Neben Wahrscheinlichkeiten können in eine Vierfeldertafel auch '''absolute Häufigkeiten''' (z. B. konkrete Personenanzahlen) eingetragen werden. In diesem Fall steht im Feld rechts unten nicht die `1`, sondern die Gesamtgröße der Stichprobe (z. B. 10.000 Personen). Wahrscheinlichkeiten und absolute Zahlen dürfen innerhalb einer Tabelle niemals gemischt werden!

===Medizinischer Test===

== Beispiele ==

=== Medizinischer Test ===

[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png|mini|[[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zum Beispiel - Medizinischer Test]]

Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.

~~Die~~ Vierfeldertafel sieht ~~dann~~ wie folgt aus:

Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % korrekterweise als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit (Prävalenz).

Überträgt man diese Werte über die 1. Pfadregel in die Vierfeldertafel, sieht diese wie folgt aus:

{| class="wikitable"

| || '''Test positiv (T)''' || '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' || '''Total'''

| || '''Test positiv (<math>T</math>)''' || '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' || '''Total'''

|-

| '''Krank (K)''' || <math> 0,02 \cdot 0,95 = ~~0,019~~</math> || <math> 0,02 \cdot 0,05 = ~~0,001~~</math> || ~~<math>~~0,02~~</math>~~

| '''Krank (<math>K</math>)''' || <math>0,02 \cdot 0,95 =</math> '''0,019''' || <math>0,02 \cdot 0,05 =</math> '''0,001''' || '''0,02'''

|-

| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' || <math> 0,98 \cdot 0,10 = ~~0,098~~</math> || <math> 0,98 \cdot 0,90 = ~~0,882~~</math> || ~~<math>~~0,98~~</math>~~

| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' || <math>0,98 \cdot 0,10 =</math> '''0,098''' || <math>0,98 \cdot 0,90 =</math> '''0,882''' || '''0,98'''

|-

| '''Total''' || ~~<math>~~0,117~~</math>~~ || ~~<math>~~0,883~~</math>~~ || '''1'''

| '''Total''' || '''0,117''' || '''0,883''' || '''1'''

|}

'''Berechnungen:'''

'''Formale Berechnungen (aus der Tabelle abgeleitet):'''

~~Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:~~

~~:<math>P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math>~~

~~Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:~~

:<math> ~~P(T) =~~ P(K \cap T) + P(~~\overline{~~K} \~~cap~~ T) = 0,~~019 +~~ 0,~~098~~ = 0,~~117~~ </math>

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird (Schnittmenge):

:<math>P(K \cap T) = P(K) \cdot P_K(T) = 0,02 \cdot 0,95 = 0,019</math>

~~Bedingte~~ Wahrscheinlichkeit, dass ~~eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn~~ der Test positiv ~~ist~~:

Totale Wahrscheinlichkeit, dass der Test (ungeachtet des Gesundheitszustands) positiv ausfällt (Spaltensumme):

:<math>P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>

:<math> P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,~~162~~ </math>

[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]], dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, unter der Vorbedingung, dass der Test positiv ist:

:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,1624 \approx 16,2\,\%</math>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zur graphischen Darstellung von [[Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.
+Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zur tabellarischen und strukturierten Darstellung von [[Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.
-==Definition==
+== Definition ==
-Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine tabellarische Darstellung, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die übersichtliche Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].
+Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine Übersicht, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die schnelle Bestimmung von Schnittmengen und bildet die Basis für die Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].
-Die Vierfeldertafel besteht aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. <math>A</math> und <math>B</math>) sowie deren Gegenereignisse (<math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math>) abbilden. Zusätzlich werden die Randsummen (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten zu verdeutlichen.
+Die Vierfeldertafel besteht im Kern aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. <math>A</math> und <math>B</math>) sowie deren Gegenereignisse (<math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math>) abbilden. Zusätzlich werden an den Rändern die sogenannten Randwahrscheinlichkeiten (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse zu verdeutlichen.
-==Aufbau einer Vierfeldertafel==
+== Aufbau einer Vierfeldertafel ==
-Eine Vierfeldertafel hat folgende Struktur:
+Eine Vierfeldertafel hat bezüglich relativer Wahrscheinlichkeiten standardmäßig folgende Struktur:
 {| class="wikitable"
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 |}
-Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.
+Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich stets aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.
-==Beispiele==
+''Prüfungshinweis:'' Neben Wahrscheinlichkeiten können in eine Vierfeldertafel auch '''absolute Häufigkeiten''' (z. B. konkrete Personenanzahlen) eingetragen werden. In diesem Fall steht im Feld rechts unten nicht die `1`, sondern die Gesamtgröße der Stichprobe (z. B. 10.000 Personen). Wahrscheinlichkeiten und absolute Zahlen dürfen innerhalb einer Tabelle niemals gemischt werden!
-===Medizinischer Test===
+== Beispiele ==
+=== Medizinischer Test ===
 [[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png|mini|[[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Baumdiagramm]] zum Beispiel - Medizinischer Test]]
-Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.
-Die Vierfeldertafel sieht dann wie folgt aus:
+Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % korrekterweise als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit (Prävalenz).
+Überträgt man diese Werte über die 1. Pfadregel in die Vierfeldertafel, sieht diese wie folgt aus:
 {| class="wikitable"
-|               || '''Test positiv (T)''' || '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' || '''Total'''
+|               || '''Test positiv (<math>T</math>)''' || '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' || '''Total'''
 |-
-| '''Krank (K)''' || <math>  0,02 \cdot 0,95 = 0,019</math> || <math> 0,02 \cdot 0,05 = 0,001</math> || <math>0,02</math>
+| '''Krank (<math>K</math>)''' || <math>0,02 \cdot 0,95 =</math> '''0,019''' || <math>0,02 \cdot 0,05 =</math> '''0,001''' || '''0,02'''
 |-
-| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' || <math>  0,98 \cdot 0,10 = 0,098</math> || <math>  0,98 \cdot 0,90 = 0,882</math> || <math>0,98</math>
+| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' || <math>0,98 \cdot 0,10 =</math> '''0,098''' || <math>0,98 \cdot 0,90 =</math> '''0,882''' || '''0,98'''
 |-
-| '''Total'''     || <math>0,117</math>            || <math>0,883</math>                         || '''1'''
+| '''Total'''     || '''0,117'''             || '''0,883'''                          || '''1'''
 |}
-'''Berechnungen:'''
+'''Formale Berechnungen (aus der Tabelle abgeleitet):'''
-Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:
-:<math>P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math>
-Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:
-:<math> P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117 </math>
+Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird (Schnittmenge):
+:<math>P(K \cap T) = P(K) \cdot P_K(T) = 0,02 \cdot 0,95 = 0,019</math>
-Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn der Test positiv ist:
+Totale Wahrscheinlichkeit, dass der Test (ungeachtet des Gesundheitszustands) positiv ausfällt (Spaltensumme):
+:<math>P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>
-:<math> P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,162 </math>
+[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]], dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, unter der Vorbedingung, dass der Test positiv ist:
+:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,1624 \approx 16,2\,\%</math>
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]