Stammfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Funktion ~~zu der die~~ [[Ableitung]] ~~gebildet wurde~~, heißt Stammfunktion. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher umgangssprachlich als ~~"aufleiten"~~ bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte (~~bestimmte Integrale~~) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.

Eine Funktion <math>F</math>, deren [[Ableitung]] <math>f</math> ist, heißt Stammfunktion von <math>f</math>. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als Integrieren und umgangssprachlich als 'Aufleiten' bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.

==Definition==

Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt,

dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> ~~heißt dabei~~ die [[Ableitung]] von <math>F</math>.

dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> ist die [[Ableitung]] von <math>F</math>.

==Unbestimmtes Integral==

Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer ~~konstanten Funktion~~ <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können

Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer Konstanten <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können

:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>.

:<math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>.

==~~Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion~~==

==Integrationsregeln==

~~Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion~~ <math>f</math> ~~und der x-Achse im Intervall~~ <math>~~[0;x]~~</math> wird ~~durch~~ den ~~Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math>~~ ermittelt.

Es sei <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Das unbestimmte Integral von <math>f</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:

~~Es sei~~ <~~math~~>F</~~math> die Stammfunktion zu einer Funktion <math>f<~~/~~math> mit der Konstanten <math>C~~=0~~</math>, dann ist <math~~>F</~~math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math~~>f</~~math~~>.

==~~Bestimmtes Integral~~==

===Potenzregel===

~~Das '''bestimmte Integral''' einer~~ Funktion <math>f</math> ~~auf dem Intervall~~ <math>~~[a; b]~~</math> ~~entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der~~ x~~-Achse im gegebenen Intervall.~~

Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:

:<math>\int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>

~~Falls~~ <math>F</math> ~~eine Stammfunktion von~~ <math>f</math> ~~ist, so wird das bestimmte Integral durch die folgende Gleichung~~

Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:

:<math>\~~int_a^b f~~(x) \, dx = ~~F(b)~~ - ~~F(a)~~</math>

:<math>\int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C</math>

~~berechnet.~~

~~Hierbei bezeichnet~~ <math>~~a</math> die untere und <math>b~~</math> ~~die obere Grenze des Integrals. Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an~~, ~~das heißt~~:

Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:

* Liegt der Graph von <math>f</math> ~~oberhalb der~~ x~~-Achse~~, ~~ist der Flächeninhalt positiv.~~

:<math>\int (\frac{1}{x}) \, dx =\ln|x|+C</math>

* Liegt der Graph von <math>f</math> ~~unterhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt negativ.~~

=~~=Integrationsregeln==~~

Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt:

~~Es sei~~ <math>n \~~in \mathbb~~{Z}</math>~~. Das unbestimmte Integral von~~ <math>f</math> ~~wird mit den folgenden Regeln ermittelt:~~

:<math>\int (\sqrt[n]{x^m}) \, dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) \, dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math>

~~===Potenzregel===~~

Für eine Exponentialfunktion <math>f(x) = e^{nx}</math> mit <math>n \neq 0</math> gilt:

Für <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:

:<math>\int e^{nx} \, dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C</math>

<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n~~+1}~~}{~~n+1~~} + C</math>.

===Faktorregel===

Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:

<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>.

:<math>\int (c \cdot g(x)) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx</math>

===Summenregel===

Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:

<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>.

:<math>\int (g(x) + h(x)) \, dx = \int g(x) \, dx + \int h(x) \, dx</math>

==Beispiele==

===Potenzregel anwenden===

~~Die Stammfunktion~~ von <math>f(x) = x^3</math> ~~lautet~~:

Das unbestimmte Integral von <math>f(x) = x^3</math> wird durch

<math>\int (x^3) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>.

:<math>\int (x^3) \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>

berechnet. <math>F(x) = \frac{x^4}{4} + 5</math> ist beispielsweise eine Stammfunktion von <math>f</math>, da <math>F'(x)=x^3=f(x)</math> gilt.

===Faktor- und Summenregel anwenden===

~~Für~~ <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> ~~ergibt sich~~:

Das unbestimmte Integral der Funktion <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> wird durch

<math>\int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2 , dx + \int 3x^3 , dx</math>.

:<math>\int (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 3x^3 \, dx= 2 \int x^2 \, dx + 3\int x^3 \, dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>

~~Berechnung~~:

berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.

<math>\int (2x^2) dx = 2 \~~cdot~~ \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{2x^3}{3}</math>,

<math>\int ~~(3x~~^3) dx = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{3x^4}{4}</math>.

===Gebrochenrationale Funktion integrieren===

~~Zusammen ergibt sich~~:

Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch

<math>\int ~~(2x~~^~~2 +~~ 3x^3) dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} ~~+ C~~</math>.

:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-1} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C</math>

berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

===Wurzelfunktion integrieren===

Das unbestimmte Integral der Funktion

wird durch

:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>

:<math> = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>

:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}+C</math>

:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C</math>

<math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5</math> und

sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

===Exponentialfunktion integieren===

Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = 5e^{3x}</math> wird durch

:<math>\int 5e^{3x} \, dx = 5 \int e^{3x} \, dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C</math>

berechnet.

sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

[[Kategorie:Integralrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-Eine Funktion zu der die [[Ableitung]] gebildet wurde, heißt Stammfunktion. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte (bestimmte Integrale) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.
+Eine Funktion <math>F</math>, deren [[Ableitung]] <math>f</math> ist, heißt Stammfunktion von <math>f</math>. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als Integrieren und umgangssprachlich als 'Aufleiten' bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.
 ==Definition==
 Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt,
-dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> heißt dabei die [[Ableitung]] von <math>F</math>.
+dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> ist die [[Ableitung]] von <math>F</math>.
 ==Unbestimmtes Integral==
-Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können
+Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer Konstanten <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können
-:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>.
+:<math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>.
-==Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion==
+==Integrationsregeln==
-Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt.
+Es sei <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Das unbestimmte Integral von <math>f</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
-Es sei <math>F</math> die Stammfunktion zu einer Funktion <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>.
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/g6mqtqI7UQA?si=Pc1b2fsS3C9PXTCb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
-==Bestimmtes Integral==
+===Potenzregel===
-Das '''bestimmte Integral''' einer Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse im gegebenen Intervall.
+Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:
+:<math>\int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>
-Falls <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, so wird das bestimmte Integral durch die folgende Gleichung
+Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:
-:<math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math>
+:<math>\int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C</math>
-berechnet.
-Hierbei bezeichnet <math>a</math> die untere und <math>b</math> die obere Grenze des Integrals. Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an, das heißt:
+Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:
-* Liegt der Graph von <math>f</math> oberhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt positiv.
+:<math>\int (\frac{1}{x}) \, dx =\ln|x|+C</math>
-* Liegt der Graph von <math>f</math> unterhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt negativ.
-==Integrationsregeln==
+Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt:
-Es sei <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Das unbestimmte Integral von <math>f</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
+:<math>\int (\sqrt[n]{x^m}) \, dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) \, dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math>
-===Potenzregel===
+Für eine Exponentialfunktion <math>f(x) = e^{nx}</math> mit <math>n \neq 0</math> gilt:
-Für <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:
+:<math>\int e^{nx} \, dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C</math>
-<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.
 ===Faktorregel===
 Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:
-<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math>.
+:<math>\int (c \cdot g(x)) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx</math>
 ===Summenregel===
 Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:
-<math>\int (g(x) + h(x)) dx = \int g(x) dx + \int h(x) dx</math>.
+:<math>\int (g(x) + h(x)) \, dx = \int g(x) \, dx + \int h(x) \, dx</math>
 ==Beispiele==
 ===Potenzregel anwenden===
-Die Stammfunktion von <math>f(x) = x^3</math> lautet:
+Das unbestimmte Integral von <math>f(x) = x^3</math> wird durch
-<math>\int (x^3) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>.
+:<math>\int (x^3) \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>
+berechnet. <math>F(x) = \frac{x^4}{4} + 5</math> ist beispielsweise eine Stammfunktion von <math>f</math>, da <math>F'(x)=x^3=f(x)</math> gilt.
 ===Faktor- und Summenregel anwenden===
-Für <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> ergibt sich:
+Das unbestimmte Integral der Funktion <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> wird durch
-<math>\int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2 , dx + \int 3x^3 , dx</math>.
+:<math>\int (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 3x^3 \, dx= 2 \int x^2 \, dx + 3\int x^3 \, dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>
-Berechnung:
+berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.
-<math>\int (2x^2) dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{2x^3}{3}</math>,
-<math>\int (3x^3) dx = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{3x^4}{4}</math>.
+===Gebrochenrationale Funktion integrieren===
-Zusammen ergibt sich:
+Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch
-<math>\int (2x^2 + 3x^3) dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>.
+:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-1} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C</math>
+berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.
+===Wurzelfunktion integrieren===
+Das unbestimmte Integral der Funktion
+<math>f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3}</math>
+wird durch
+:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>
+:<math> = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>
+:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}+C</math>
+:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C</math>
+<math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5</math> und
+<math>F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12</math>
+sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.
+===Exponentialfunktion integieren===
+Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = 5e^{3x}</math> wird durch
+:<math>\int 5e^{3x} \, dx = 5 \int e^{3x} \, dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C</math>
+berechnet.
+<math>F_1(x) = \frac{5}{3} e^{3x} + 4</math> und <math>F_2(x) = \frac{5}{3} e^{3x} - 9</math>
+sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.
 [[Kategorie:Integralrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]