Stammfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Stammfunktion und ~~unbestimmtes Integral==~~

Eine Funktion <math>F</math>, deren [[Ableitung]] <math>f</math> ist, heißt Stammfunktion von <math>f</math>. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als Integrieren und umgangssprachlich als 'Aufleiten' bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.

Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall ~~gilt:~~

==Definition==

<math>F'(x) = f(x)</math>,

Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt,

dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> ~~heißt dabei~~ die ~~'''~~Ableitung~~'''~~ von <math>F</math>.

dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> ist die [[Ableitung]] von <math>F</math>.

Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer ~~konstanten Funktion~~ <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können:

==Unbestimmtes Integral==

<math>\int f(x) , dx = F(x) + C</math>.

Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer Konstanten <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können

:<math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>.

==~~Definition~~== ~~Die Funktion~~ <math>~~F(x)~~</math> ~~beschreibt den Flächeninhalt unter der Funktion~~ <math>f~~(x)</math> von einem Startwert bis zu einem variablen Endwert <math>x</math>, wobei die Konstante <math>C~~</math> den ~~Startwert beeinflusst. Jede Änderung von <math>C</math> verschiebt die Funktion vertikal, ohne ihre Ableitung zu verändern.~~

==Integrationsregeln==

Es sei <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Das unbestimmte Integral von <math>f</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:

==~~Integrationsregeln~~==

~~Die Stammfunktion~~ <~~math~~>~~F(x)~~</~~math~~> ~~wird mit den folgenden Regeln ermittelt:~~

===Potenzregel===

Für <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:

Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:

<math>\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.

:<math>\int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>

Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:

:<math>\int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C</math>

Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:

:<math>\int (\frac{1}{x}) \, dx =\ln|x|+C</math>

Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt:

:<math>\int (\sqrt[n]{x^m}) \, dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) \, dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math>

Für eine Exponentialfunktion <math>f(x) = e^{nx}</math> mit <math>n \neq 0</math> gilt:

:<math>\int e^{nx} \, dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C</math>

===Faktorregel===

Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:

<math>\int c \cdot g(x) , dx = c \cdot \int g(x) , dx</math>.

:<math>\int (c \cdot g(x)) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx</math>

===Summenregel===

Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:

<math>\int ~~\left~~(g(x) + h(x)\~~right)~~ , dx = \int g(x) , dx + \int h(x) , dx</math>.

:<math>\int (g(x) + h(x)) \, dx = \int g(x) \, dx + \int h(x) \, dx</math>

==Beispiele==

===Potenzregel anwenden=== ~~Die Stammfunktion~~ von <math>f(x) = x^3</math> ~~lautet~~:

===Potenzregel anwenden===

<math>\int x^3 , dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>.

Das unbestimmte Integral von <math>f(x) = x^3</math> wird durch

:<math>\int (x^3) \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>

berechnet. <math>F(x) = \frac{x^4}{4} + 5</math> ist beispielsweise eine Stammfunktion von <math>f</math>, da <math>F'(x)=x^3=f(x)</math> gilt.

===Faktor- und Summenregel anwenden===

Das unbestimmte Integral der Funktion <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> wird durch

:<math>\int (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 3x^3 \, dx= 2 \int x^2 \, dx + 3\int x^3 \, dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>

berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.

===~~Summenregel anwenden~~=== ~~Für~~ <math>h(x) = ~~2x^~~2 + 3x^3</math> ~~ergibt sich~~:

===Gebrochenrationale Funktion integrieren===

<math>\int (~~2x^~~2 + 3x^3) , dx = \int ~~2x^~~2 , dx + \int ~~3x^~~3 ~~, dx</math>.~~

Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch

~~Berechnung:~~

:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-1} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C</math>

~~<math>\int 2x~~^2 , dx = 2 \~~cdot \frac{~~x^{2+1}}{2+1} = \frac{~~2x^~~3}{3}</math>,

berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

<math>~~\int 3x^3 , dx~~ = 3 \~~cdot~~ \frac~~{x^~~{3+1}}{3+~~1} = \frac{3x^4}{4}~~</math>.

~~Zusammen ergibt sich:~~

<math>~~\int~~ (~~2x^2 + 3x^3~~) ~~, dx~~ = \frac{~~2x^~~3}{3} ~~+ \frac{3x^4}{4} + C~~</math>.

===~~Graphische Bedeutung der Stammfunktion~~=== ~~Die Stammfunktion~~ <math>F(x)</math> ~~beschreibt den Flächeninhalt unter der Kurve~~ <math>f(x)</math>~~. Dieser Flächeninhalt kann positiv oder negativ sein~~, ~~je nachdem~~, ~~ob die Kurve über oder unter der~~ <math>x</math>-~~Achse liegt.~~

===Wurzelfunktion integrieren===

Das unbestimmte Integral der Funktion

wird durch

:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>

:<math> = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>

:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}+C</math>

:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C</math>

==~~=Höhere Integrationen=== Wird die Stammfunktion erneut integriert, spricht man~~ von ~~mehrfachen Integralen. Diese geben eine Verallgemeinerung des Flächeninhalts für mehrdimensionale Probleme an~~.

<math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5</math> und

sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

==~~Zusammenhang mit der Ableitung~~== ~~Während die Ableitung~~ <math>f'(x)</math> ~~die lokale Änderungsrate angibt, liefert die Stammfunktion~~ <math>~~F(x)~~</math> ~~eine globale Betrachtung des Funktionsverlaufs~~. ~~Der Übergang von~~ <math>f(x)</math> zu <math>F(x)</math> ~~entspricht der '''Integration''', der Übergang~~ von ~~<math>F(x)</math> zu~~ <math>f~~(x)~~</math> ~~der '''Differentiation'''~~.

===Exponentialfunktion integieren===

Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = 5e^{3x}</math> wird durch

:<math>\int 5e^{3x} \, dx = 5 \int e^{3x} \, dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C</math>

berechnet.

sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.

[[Kategorie:Integralrechnung]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-==Stammfunktion und unbestimmtes Integral==
+Eine Funktion <math>F</math>, deren [[Ableitung]] <math>f</math> ist, heißt Stammfunktion von <math>f</math>. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als Integrieren und umgangssprachlich als 'Aufleiten' bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden.
-Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall gilt:
+==Definition==
-<math>F'(x) = f(x)</math>,
+Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt,
-dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> heißt dabei die '''Ableitung''' von <math>F</math>.
+dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> ist die [[Ableitung]] von <math>F</math>.
-Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können:
+==Unbestimmtes Integral==
-<math>\int f(x) , dx = F(x) + C</math>.
+Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer Konstanten <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können
+:<math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>.
-==Definition== Die Funktion <math>F(x)</math> beschreibt den Flächeninhalt unter der Funktion <math>f(x)</math> von einem Startwert bis zu einem variablen Endwert <math>x</math>, wobei die Konstante <math>C</math> den Startwert beeinflusst. Jede Änderung von <math>C</math> verschiebt die Funktion vertikal, ohne ihre Ableitung zu verändern.
+==Integrationsregeln==
+Es sei <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Das unbestimmte Integral von <math>f</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
-==Integrationsregeln==
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/g6mqtqI7UQA?si=Pc1b2fsS3C9PXTCb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
-Die Stammfunktion <math>F(x)</math> wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
 ===Potenzregel===
-Für <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:
+Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt:
-<math>\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>.
+:<math>\int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math>
+Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt:
+:<math>\int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C</math>
+Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt:
+:<math>\int (\frac{1}{x}) \, dx =\ln|x|+C</math>
+Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt:
+:<math>\int (\sqrt[n]{x^m}) \, dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) \, dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math>
+Für eine Exponentialfunktion <math>f(x) = e^{nx}</math> mit <math>n \neq 0</math> gilt:
+:<math>\int e^{nx} \, dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C</math>
 ===Faktorregel===
 Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt:
-<math>\int c \cdot g(x) , dx = c \cdot \int g(x) , dx</math>.
+:<math>\int (c \cdot g(x)) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx</math>
 ===Summenregel===
 Für <math>f(x) = g(x) + h(x)</math> gilt:
-<math>\int \left(g(x) + h(x)\right) , dx = \int g(x) , dx + \int h(x) , dx</math>.
+:<math>\int (g(x) + h(x)) \, dx = \int g(x) \, dx + \int h(x) \, dx</math>
 ==Beispiele==
-===Potenzregel anwenden=== Die Stammfunktion von <math>f(x) = x^3</math> lautet:
+===Potenzregel anwenden===
-<math>\int x^3 , dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>.
+Das unbestimmte Integral von <math>f(x) = x^3</math> wird durch
+:<math>\int (x^3) \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math>
+berechnet. <math>F(x) = \frac{x^4}{4} + 5</math> ist beispielsweise eine Stammfunktion von <math>f</math>, da <math>F'(x)=x^3=f(x)</math> gilt.
+===Faktor- und Summenregel anwenden===
+Das unbestimmte Integral der Funktion <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> wird durch
+:<math>\int (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 3x^3 \, dx= 2 \int x^2 \, dx + 3\int x^3 \, dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>
+berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>.
-===Summenregel anwenden=== Für <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> ergibt sich:
+===Gebrochenrationale Funktion integrieren===
-<math>\int (2x^2 + 3x^3) , dx = \int 2x^2 , dx + \int 3x^3 , dx</math>.
+Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch
-Berechnung:
+:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-1} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C</math>
-<math>\int 2x^2 , dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{2x^3}{3}</math>,
+berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.
-<math>\int 3x^3 , dx = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{3x^4}{4}</math>.
-Zusammen ergibt sich:
-<math>\int (2x^2 + 3x^3) , dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math>.
-===Graphische Bedeutung der Stammfunktion=== Die Stammfunktion <math>F(x)</math> beschreibt den Flächeninhalt unter der Kurve <math>f(x)</math>. Dieser Flächeninhalt kann positiv oder negativ sein, je nachdem, ob die Kurve über oder unter der <math>x</math>-Achse liegt.
+===Wurzelfunktion integrieren===
+Das unbestimmte Integral der Funktion
+<math>f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3}</math>
+wird durch
+:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>
+:<math> = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx</math>
+:<math> = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}+C</math>
+:<math>= 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C</math>
-===Höhere Integrationen=== Wird die Stammfunktion erneut integriert, spricht man von mehrfachen Integralen. Diese geben eine Verallgemeinerung des Flächeninhalts für mehrdimensionale Probleme an.
+<math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5</math> und
+<math>F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12</math>
+sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.
-==Zusammenhang mit der Ableitung== Während die Ableitung <math>f'(x)</math> die lokale Änderungsrate angibt, liefert die Stammfunktion <math>F(x)</math> eine globale Betrachtung des Funktionsverlaufs. Der Übergang von <math>f(x)</math> zu <math>F(x)</math> entspricht der '''Integration''', der Übergang von <math>F(x)</math> zu <math>f(x)</math> der '''Differentiation'''.
+===Exponentialfunktion integieren===
+Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = 5e^{3x}</math> wird durch
+:<math>\int 5e^{3x} \, dx = 5 \int e^{3x} \, dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C</math>
+berechnet.
+<math>F_1(x) = \frac{5}{3} e^{3x} + 4</math> und <math>F_2(x) = \frac{5}{3} e^{3x} - 9</math>
+sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>.
 [[Kategorie:Integralrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]