Produktregel: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Produktregel ist | Die Produktregel ist wie die [[Kettenregel]] eine Regel zum [[Ableitung|Ableiten]] von [[Funktion|Funktionen]]. Die Quotientenregel ist das Anwenden der Produktregel auf eine Funktion der Form <math>f(x)=u(x)v(x)^{-1}</math>. | ||
==Definition== | ==Definition== | ||
Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung|differenzierbare]] Funktionen, so ist auch | Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung|differenzierbare]] [[Funktion|Funktionen]], so ist auch | ||
: <math>f(x) = u(x)\cdot v(x)</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}</math> | : <math>f(x) = u(x)\cdot v(x)</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}</math> | ||
differenzierbar. Für die Ableitung von <math>f</math> gilt | differenzierbar. Für die [[Ableitung]] von <math>f</math> gilt | ||
: <math>f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)</math> | : <math>f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)</math> | ||
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/r-PB5sW4sOk?si=jzJwZZnTaiuYODcm" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html> | |||
==Beweis der Produktregel== | ==Beweis der Produktregel== | ||
Wir leiten die Funktion <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math> ab. | Wir leiten die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math> ab. | ||
Ableitung durch Grenzwert des Differenzenquotienten ausdrücken: | Ableitung durch Grenzwert des [[Ableitung|Differenzenquotienten]] ausdrücken: | ||
: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math> | : <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math> | ||
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==Quotientenregel== | ==Quotientenregel== | ||
Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung|differenzierbare]] Funktionen, so ist | Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung|differenzierbare]] [[Funktion|Funktionen]], so ist | ||
: <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}</math> und <math>v(x) \neq 0</math> | : <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}</math> und <math>v(x) \neq 0</math> | ||
differenzierbar. Für die Ableitung von <math>g</math> gilt | differenzierbar. Für die [[Ableitung]] von <math>g</math> gilt | ||
: <math>g'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}</math> | : <math>g'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}</math> | ||
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<math>f'(x) = 2 \cdot x^2 + 2x \cdot 2x = 2x^2 + 4x^2 = 6x^2</math>. | <math>f'(x) = 2 \cdot x^2 + 2x \cdot 2x = 2x^2 + 4x^2 = 6x^2</math>. | ||
===Quotientenregel=== | ===Quotientenregel anwenden=== | ||
Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = x^2</math> und <math>v(x) = 2x</math> mit <math>v(x) \neq 0</math>. | Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = x^2</math> und <math>v(x) = 2x</math> mit <math>v(x) \neq 0</math>. | ||
Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math>. | Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math>. | ||
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Einsetzen ergibt: | Einsetzen ergibt: | ||
<math>g'(x) = \frac{2x \cdot 2x - x^2 \cdot 2}{(2x)^2} = \frac{4x^2 - 2x^2}{4x^2} = \frac{2x^2}{4x^2} = \frac{1}{2}</math>. | <math>g'(x) = \frac{2x \cdot 2x - x^2 \cdot 2}{(2x)^2} = \frac{4x^2 - 2x^2}{4x^2} = \frac{2x^2}{4x^2} = \frac{1}{2}</math>. | ||
[[Kategorie:Differentialrechnung]] | |||
[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]] | |||