Natürliche Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Definition== | ==Definition== | ||
Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung <math>f'(x)=e^x</math>. | Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt '''natürliche Exponentialfunktion''' oder '''e-Funktion''' und hat die [[Ableitung]] <math>f'(x)=e^x</math>. | ||
==Erweiterte Form== | |||
Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot e^{\lambda x}+d</math> mit <math>a,~c,~d,~\lambda \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte e-Funktion'''. . | |||
==Beispiele== | |||
===Graphen von e-Funktionen=== | |||
[[Datei:E-FunktionGraphen1.png|mini|Graphen von <math>f(x)=e^x</math>,<math>f_1(x)=e^{2x}</math>, <math>f_2(x)=e^{x+2}</math>, <math>f_3(x)=-e^x</math>, <math>f_4(x)=(-2x^2+3)e^x-4</math>]] | |||
Auf der rechten Seite sehen wir die Graphen einer e-Funktion und von e-Funktionen in erweiterter Form. <math>f</math> zeigt die e-Funktion. <math>f_1</math> verläuft im Vergleich zu <math>f</math> steiler. Schiebt man <math>f</math> um zwei Stellen nach rechts, erhält man <math>f_2</math>. Wird <math>f</math> an der x-Achse gespiegelt, erhalten wir <math>f_3</math>. <math>f_4</math> entsteht aus <math>f</math>, indem der Graph abschnittsweise die Form des Polynoms <math>-2x^2+3</math> annimmt und für <math>x</math> gegen <math>- \infty</math> <math>y=4</math> als Asymptote hat. | |||
===Ableitungen von e-Funktionen=== | |||
Wir bilden die Ableitungen von <math>f,g,h</math>: | |||
*<math>f(x)=e^x</math> | |||
**<math>f'(x)=e^x</math> | |||
**<math>f''(x)=e^x</math> | |||
*<math>g(x)=e^x-3x^2+3</math> | |||
**<math>g'(x)=e^x-6x</math> | |||
**<math>g''(x)=e^x-6</math> | |||
*<math>h(x)=(-2)e^x-3x^4+3x</math> | |||
**<math>h'(x)=(-2)e^x-12x^3+3</math> | |||
**<math>h''(x)=e^x-36x^2</math> | |||
[[Kategorie:Mathematische Funktion]] | |||
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | |||