Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==

Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a~~,~c~~ \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.

Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.

==~~Eigenschaften~~ der Exponentialfunktion==

==Ableitung==

Für die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=a^x</math> gilt:

<math> f'(t)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{t+h}-a^{t}}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^t \cdot a^h-a^{t}}{h}=(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}) a^t = c \cdot a^t </math> mit <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>.

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis <math>a</math> und dem y-Achsenabschnitt <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: <math>\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=ln(a)</math>

Also gilt <math>f'(x)=ln(a)a^x</math>.

==Verlauf der Graphen von Exponentialfunktion==

[[Datei:ExponentialfunktionVerlauf.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>g_1(x)=2\cdot 3^x</math>, <math>g_2(x)=2\cdot 0,3^x</math>, <math>g_3(x)=-2\cdot 3^x</math>, <math>g_4(x)=-2\cdot 0,3^x</math>]]

Gegeben sei eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a.

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*Gilt <math>c<0</math> und <math>a>1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton fallend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskurve]].

==~~Nullstellen~~==

~~Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math~~>~~f(x)=c \cdot a^x~~</~~math~~> ~~mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1~~</~~math~~> ~~hat keine Nullstellen.~~

==Spiegelbildliche Exponentialfunktionen==

Die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=c \cdot a^x</math> und <math>f_2(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a~~,~c~~ \geq 0,~a \neq 1</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.

Die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=c \cdot a^x</math> und <math>f_2(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.

==Erweiterte Form==

Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a~~,~c~~ \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.

Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.

==Nullstellen==

Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> hat keine [[Nullstelle|Nullstellen]].

Die Nullstelle der erweiterten Form existiert, falls <math>\frac{d}{c}<0</math> sowie <math>a>0</math> gilt und wird durch

ermittelt.

==Beispiele==

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Zeile 71:

Die Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse.

==Beschränkter Wachstumsprozess==

===Beschränkter Wachstumsprozess===

[[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterWachstumsprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190)\cdot 0,7^t+210</math>]]

Wir backen ein schmackhaftes Zwiebelbrot bei 210 °C und messen die Temperatur des Brotes im Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 45 minütigen Backprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>h(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>h(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Backtemperatur von 210 °C, kann das Brot nicht wärmer als 210 °C werden, daher gilt <math>d=210</math>.

Zeile 68:

Zeile 93:

Die erweiterte Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190) \cdot 0,7^t+210</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=210</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_h</math> gilt, dass <math>-190\cdot 0,7^t<0</math> ist. Der Graph von <math>h</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>h</math> streng monoton ~~fallend~~ und eine ~~Linkskurve~~, daher beschreibt <math>h</math> einen '''beschränkten Wachstumsprozess'''.

Die erweiterte Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190) \cdot 0,7^t+210</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=210</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_h</math> gilt, dass <math>-190\cdot 0,7^t<0</math> ist. Der Graph von <math>h</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>h</math> streng monoton steigend und eine Rechtskurve, daher beschreibt <math>h</math> einen '''beschränkten Wachstumsprozess'''.

==Beschränkter Abnahmeprozess==

===Beschränkter Abnahmeprozess===

[[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterAbnahmeprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math>]]

Wir nehmen das fertig gebackene Brot aus dem Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 30-minütigen Abkühlungsprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>f(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>f(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Raumtemperatur, kann das Brot nicht kälter als 20 °C werden, daher gilt <math>d=20</math>.

Zeile 93:

Zeile 120:

Die erweiterte Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=20</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>180\cdot 0,8^t>0</math> ist. Der Graph von <math>f</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>f</math> streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt <math>f</math> einen '''beschränkten Abnahmeprozess'''.

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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 ==Definition==
-Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
+Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
-==Eigenschaften der Exponentialfunktion==
+==Ableitung==
+Für die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=a^x</math> gilt:
+<math> f'(t)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{t+h}-a^{t}}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^t \cdot a^h-a^{t}}{h}=(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}) a^t = c \cdot a^t </math> mit <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>.
+Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis <math>a</math> und dem y-Achsenabschnitt <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: <math>\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=ln(a)</math>
+Also gilt <math>f'(x)=ln(a)a^x</math>.
+==Verlauf der Graphen von Exponentialfunktion==
 [[Datei:ExponentialfunktionVerlauf.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>g_1(x)=2\cdot 3^x</math>, <math>g_2(x)=2\cdot 0,3^x</math>, <math>g_3(x)=-2\cdot 3^x</math>, <math>g_4(x)=-2\cdot 0,3^x</math>]]
 Gegeben sei eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a.
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 *Gilt <math>c<0</math> und <math>a>1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton fallend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskurve]].
-==Nullstellen==
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/o_WQeeVMvt4?si=oAFcTf0FZjIVCsnY" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
-Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1</math> hat keine Nullstellen.
 ==Spiegelbildliche Exponentialfunktionen==
-Die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=c \cdot a^x</math> und <math>f_2(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.
+Die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=c \cdot a^x</math> und <math>f_2(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.
 ==Erweiterte Form==
-Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a,~c \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.
+Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.
+==Nullstellen==
+Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> hat keine [[Nullstelle|Nullstellen]].
+Die Nullstelle der erweiterten Form existiert, falls <math>\frac{d}{c}<0</math> sowie <math>a>0</math> gilt und wird durch
+<math>f(x)=0</math>
+<math>c \cdot a^x+d=0</math>
+<math>c \cdot a^x=-d</math>
+<math>a^x=-\frac{d}{c}</math>
+<math>x=log_a(-\frac{d}{c})=\frac{log(-\frac{d}{c})}{log(a)}</math>
+ermittelt.
 ==Beispiele==
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 Die Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse.
-==Beschränkter Wachstumsprozess==
+===Beschränkter Wachstumsprozess===
 [[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterWachstumsprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190)\cdot 0,7^t+210</math>]]
 Wir backen ein schmackhaftes Zwiebelbrot bei 210 °C und messen die Temperatur des Brotes im Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 45 minütigen Backprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>h(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>h(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Backtemperatur von 210 °C, kann das Brot nicht wärmer als 210 °C werden, daher gilt <math>d=210</math>.
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 <math>0,7=a</math>
-Die erweiterte Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190) \cdot 0,7^t+210</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=210</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_h</math> gilt, dass <math>-190\cdot 0,7^t<0</math> ist. Der Graph von <math>h</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>h</math> streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt <math>h</math> einen '''beschränkten Wachstumsprozess'''.
+Die erweiterte Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190) \cdot 0,7^t+210</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=210</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_h</math> gilt, dass <math>-190\cdot 0,7^t<0</math> ist. Der Graph von <math>h</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>h</math> streng monoton steigend und eine Rechtskurve, daher beschreibt <math>h</math> einen '''beschränkten Wachstumsprozess'''.
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/tApWXGETVRs?si=abRtG5T_-F1kpnnZ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
-==Beschränkter Abnahmeprozess==
+===Beschränkter Abnahmeprozess===
 [[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterAbnahmeprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math>]]
 Wir nehmen das fertig gebackene Brot aus dem Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 30-minütigen Abkühlungsprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>f(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>f(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Raumtemperatur, kann das Brot nicht kälter als 20 °C werden, daher gilt <math>d=20</math>.
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 Die erweiterte Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=20</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>180\cdot 0,8^t>0</math> ist. Der Graph von <math>f</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>f</math> streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt <math>f</math> einen '''beschränkten Abnahmeprozess'''.
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/L4AfwtEBp_M?si=YTsMMnpdZki8O_33" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
 [[Kategorie:Mathematische Funktion]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]