Nullstelle: Unterschied zwischen den Versionen
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==Definition== | ==Definition== | ||
Die '''Nullstellen''' einer Funktion sind diejenigen Werte im [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]], für die der [[Funktion|Funktionswert]] gleich null ist. In einem Koordinatensystem entsprechen diese Werte den Schnitt- oder Berührungsstellen des [[Graph|Funktionsgraphen]] mit der x-Achse. Eine Funktion <math>f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W}</math> hat eine Nullstelle bei <math>x_0 \in \mathbb{D}</math>, wenn <math>f(x_0)=0</math> gilt. | Die '''Nullstellen''' einer Funktion sind diejenigen Werte im [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]], für die der [[Funktion|Funktionswert]] gleich null ist. In einem Koordinatensystem entsprechen diese Werte den Schnitt- oder Berührungsstellen des [[Graph|Funktionsgraphen]] mit der x-Achse. Eine Funktion <math>f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W}</math> hat eine Nullstelle bei <math>x_0 \in \mathbb{D}</math>, wenn <math>f(x_0)=0</math> gilt. | ||
Für eine [[Nachfragefunktion]] wird die positive Nullstelle auch '''Sättigungsmenge''' genannt. | |||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
===Lineare Funktion=== | ===Lineare Funktion=== | ||
Für eine lineare Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=mx+b</math> wird die Nullstelle berechnet, indem <math>f(x)=0</math> eingesetzt und nach <math>x</math> umgeformt wird: | |||
Für | |||
wird die Nullstelle berechnet, indem <math>f(x)=0</math> eingesetzt und nach <math>x</math> umgeformt wird: | |||
<math>f(x)=mx+b</math> | <math>f(x)=mx+b</math> | ||
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Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math>x</math>-Wert eine Nullstelle von <math>f</math>. Der [[Graph]] verläuft vollständig auf der x-Achse. | Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math>x</math>-Wert eine Nullstelle von <math>f</math>. Der [[Graph]] verläuft vollständig auf der x-Achse. | ||
[[Kategorie: | ===Quadratische Funktion=== | ||
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion <math>{f\left(x\right)=x}^2+px+q</math> werden durch Auflösen der Gleichung <math>x^2+px+q=0</math> nach <math>x</math> ausgerechnet. Die Lösung der Gleichung wird mit der '''p-q-Formel''', <math>x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}</math>, berechnet. Ist der Wert unter der Wurzel negativ, existiert keine Nullstelle. Ist der Wert unter der Wurzel 0 existiert genau eine Nullstelle und ansonsten existieren zwei Nullstellen. | |||
====pq-Formel anwenden==== | |||
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNST.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=2x^2+8x+4</math> mit Nullstellen]] | |||
Wir betrachten <math>f(x)=2x^2+8x+4</math>. Wir rechnen | |||
<math>{2x}^2+8x+4=0~|~ :2 </math> | |||
<math>x^2+4x+2=0\ </math> | |||
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=4</math> und <math>q=2</math>. Diese Werte können wir einsetzen: | |||
<math>x_1=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2-\sqrt2\approx-3,41</math> | |||
und | |||
<math>x_2=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2+\sqrt2\approx-0,59</math> | |||
Also hat f die Nullstellen <math>x_1\approx-3,41</math> und <math>x_2\approx-0,59</math>. Das sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet. | |||
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/62W7vkZOsgY?si=OQN3whbksaE9jebQ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | |||
====Nullstellen ohne pq-Formel berechnen==== | |||
Einige Nullstellen bzw. Lösungen von quadratischen Gleichungen können auch ohne p-q-Formel bestimmt werden: | |||
Direktes Auflösen einer quadratischen Gleichung nach x: | |||
<math>3\left(x-5\right)^2=27\ |\ \div3</math> | |||
<math>\left(x-5\right)^2=9\ |\ \sqrt{~}</math> | |||
<math>x-5=9\ \vee x-5=-9\ |+5</math> | |||
<math>x=14\ \vee x=-4</math> | |||
Produkt von Nullstellen: | |||
<math>\left(x-8\right)\left(x+3\right)=0</math> | |||
<math>x-8=0\ \vee x-3=0</math> | |||
<math>x=8\ \vee x=3</math> | |||
Direktes Auflösen nach x: | |||
<math>7x^2-343=0\ |\ \div7</math> | |||
<math>x^2-49=0\ |+49</math> | |||
<math>x^2=49\ \ |\ \sqrt{~}</math> | |||
<math>x=7 \text{ or } x=-7</math> | |||
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/YP3qpsTryrc?si=d2H0Gbv2T4DTI0px" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | |||
====Herleitung der p-q-Formel (nur zur Vertiefung)==== | |||
Um die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> zu bestimmen, rechnet man: | |||
<math>ax^2+bx+c=0</math> | |||
<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0</math> | |||
<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0</math> | |||
<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2)+c=0</math> | |||
<math>a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0</math> | |||
<math>a\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}</math> | |||
<math>x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{1}{a}{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}</math> | |||
Gilt <math>a=1</math>, so erhält man: | |||
<math>x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}</math> | |||
[[Kategorie:Mathematische Funktion]] | |||
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]] | |||