Nullstelle: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „==Nullstellen== '''Nullstellen''' sind die <math>x-Werte</math>, bei denen der Graph die <math>x-Achse</math> schneidet. Für eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> wird die Nullstelle berechnet, indem <math>y=0</math> eingesetzt und nach <math>x</math> umgeformt wird: <math>0=mx+b\ |-b</math> <math>-b=\ mx\ |\ \div m</math> <math>-\frac{b}{m}=\ x</math> ===Beispiel Nullstellenberechnung=== mini|[[Graph z…“ |
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== | Nullstellen sind die <math>x</math>-Werte, bei denen der Graph die <math>x</math>-Achse schneidet oder berührt. | ||
'''Nullstellen''' sind die <math> | |||
==Definition== | |||
<math> | Die '''Nullstellen''' einer Funktion sind diejenigen Werte im [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]], für die der [[Funktion|Funktionswert]] gleich null ist. In einem Koordinatensystem entsprechen diese Werte den Schnitt- oder Berührungsstellen des [[Graph|Funktionsgraphen]] mit der x-Achse. Eine Funktion <math>f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W}</math> hat eine Nullstelle bei <math>x_0 \in \mathbb{D}</math>, wenn <math>f(x_0)=0</math> gilt. | ||
Für eine [[Nachfragefunktion]] wird die positive Nullstelle auch '''Sättigungsmenge''' genannt. | |||
==Beispiele== | |||
===Lineare Funktion=== | |||
Für eine lineare Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=mx+b</math> wird die Nullstelle berechnet, indem <math>f(x)=0</math> eingesetzt und nach <math>x</math> umgeformt wird: | |||
<math>f(x)=mx+b</math> | |||
<math>0=mx+b\ |-b</math> | <math>0=mx+b\ ~|~-b</math> | ||
<math>-b=\ mx | <math>-b=\ mx ~|~ : m</math> | ||
<math>-\frac{b}{m}= | <math>-\frac{b}{m}= x</math> ist die Nullstelle. | ||
=== | ====Nullstellenberechnung für eine konkrete Funktionsvorschrift==== | ||
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Gegeben ist die lineare Funktion | Gegeben ist die lineare Funktion | ||
<math>f | <math>f(x)=2x+1</math> | ||
<math>0 | Setzt man <math>f(x)=0</math> ein, folgt | ||
<math> | <math>0=2x+1~|~-1</math> | ||
<math>- | <math>-1=\ 2x~|~:2</math> | ||
<math>-\frac{1}{2}=\ x</math> ist die Nullstelle. | |||
=== | ====Lineare Funktion ohne Nullstelle==== | ||
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<math>f | <math>f(x)=0x+1</math> | ||
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir: | Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir: | ||
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=== | ====Lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen ==== | ||
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Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die | Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstellen, erhalten wir: | ||
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Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math>x</math>-Wert eine Nullstelle von <math>f</math>. Der [[Graph]] verläuft vollständig auf der x-Achse. | Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math>x</math>-Wert eine Nullstelle von <math>f</math>. Der [[Graph]] verläuft vollständig auf der x-Achse. | ||
[[Kategorie: | ===Quadratische Funktion=== | ||
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion <math>{f\left(x\right)=x}^2+px+q</math> werden durch Auflösen der Gleichung <math>x^2+px+q=0</math> nach <math>x</math> ausgerechnet. Die Lösung der Gleichung wird mit der '''p-q-Formel''', <math>x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}</math>, berechnet. Ist der Wert unter der Wurzel negativ, existiert keine Nullstelle. Ist der Wert unter der Wurzel 0 existiert genau eine Nullstelle und ansonsten existieren zwei Nullstellen. | |||
====pq-Formel anwenden==== | |||
[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktNST.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=2x^2+8x+4</math> mit Nullstellen]] | |||
Wir betrachten <math>f(x)=2x^2+8x+4</math>. Wir rechnen | |||
<math>{2x}^2+8x+4=0~|~ :2 </math> | |||
<math>x^2+4x+2=0\ </math> | |||
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt <math>p=4</math> und <math>q=2</math>. Diese Werte können wir einsetzen: | |||
<math>x_1=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2-\sqrt2\approx-3,41</math> | |||
und | |||
<math>x_2=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2+\sqrt2\approx-0,59</math> | |||
Also hat f die Nullstellen <math>x_1\approx-3,41</math> und <math>x_2\approx-0,59</math>. Das sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet. | |||
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====Nullstellen ohne pq-Formel berechnen==== | |||
Einige Nullstellen bzw. Lösungen von quadratischen Gleichungen können auch ohne p-q-Formel bestimmt werden: | |||
Direktes Auflösen einer quadratischen Gleichung nach x: | |||
<math>3\left(x-5\right)^2=27\ |\ \div3</math> | |||
<math>\left(x-5\right)^2=9\ |\ \sqrt{~}</math> | |||
<math>x-5=9\ \vee x-5=-9\ |+5</math> | |||
<math>x=14\ \vee x=-4</math> | |||
Produkt von Nullstellen: | |||
<math>\left(x-8\right)\left(x+3\right)=0</math> | |||
<math>x-8=0\ \vee x-3=0</math> | |||
<math>x=8\ \vee x=3</math> | |||
Direktes Auflösen nach x: | |||
<math>7x^2-343=0\ |\ \div7</math> | |||
<math>x^2-49=0\ |+49</math> | |||
<math>x^2=49\ \ |\ \sqrt{~}</math> | |||
<math>x=7 \text{ or } x=-7</math> | |||
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====Herleitung der p-q-Formel (nur zur Vertiefung)==== | |||
Um die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> zu bestimmen, rechnet man: | |||
<math>ax^2+bx+c=0</math> | |||
<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0</math> | |||
<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0</math> | |||
<math>a{(x}^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2)+c=0</math> | |||
<math>a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0</math> | |||
<math>a\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}</math> | |||
<math>x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{1}{a}{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}</math> | |||
Gilt <math>a=1</math>, so erhält man: | |||
<math>x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)}</math> | |||
[[Kategorie:Mathematische Funktion]] | |||
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]] | |||
Aktuelle Version vom 21. Juli 2024, 11:19 Uhr
Nullstellen sind die [math]\displaystyle{ x }[/math]-Werte, bei denen der Graph die [math]\displaystyle{ x }[/math]-Achse schneidet oder berührt.
Definition
Die Nullstellen einer Funktion sind diejenigen Werte im Definitionsbereich, für die der Funktionswert gleich null ist. In einem Koordinatensystem entsprechen diese Werte den Schnitt- oder Berührungsstellen des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Eine Funktion [math]\displaystyle{ f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W} }[/math] hat eine Nullstelle bei [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D} }[/math], wenn [math]\displaystyle{ f(x_0)=0 }[/math] gilt.
Für eine Nachfragefunktion wird die positive Nullstelle auch Sättigungsmenge genannt.
Beispiele
Lineare Funktion
Für eine lineare Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x)=mx+b }[/math] wird die Nullstelle berechnet, indem [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] eingesetzt und nach [math]\displaystyle{ x }[/math] umgeformt wird:
[math]\displaystyle{ f(x)=mx+b }[/math]
[math]\displaystyle{ 0=mx+b\ ~|~-b }[/math]
[math]\displaystyle{ -b=\ mx ~|~ : m }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{b}{m}= x }[/math] ist die Nullstelle.
Nullstellenberechnung für eine konkrete Funktionsvorschrift
Gegeben ist die lineare Funktion
[math]\displaystyle{ f(x)=2x+1 }[/math]
Setzt man [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] ein, folgt
[math]\displaystyle{ 0=2x+1~|~-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ -1=\ 2x~|~:2 }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}=\ x }[/math] ist die Nullstelle.
Lineare Funktion ohne Nullstelle
Gegeben ist die lineare Funktion
[math]\displaystyle{ f(x)=0x+1 }[/math]
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
[math]\displaystyle{ 0=0x+1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 = 1 }[/math]
Das ist ein Widerspruch, da [math]\displaystyle{ 0\neq 1 }[/math] ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am Graphen der Funktion, da dieser parallel zur [math]\displaystyle{ x }[/math]-Achse verläuft und damit keine Nullstellen hat.
Lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen
Gegeben ist die lineare Funktion
[math]\displaystyle{ f(x)=0x+0 }[/math]
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstellen, erhalten wir:
[math]\displaystyle{ 0=0x+0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0= 0 }[/math]
Die Aussage ist wahr, also ist jeder [math]\displaystyle{ x }[/math]-Wert eine Nullstelle von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Der Graph verläuft vollständig auf der x-Achse.
Quadratische Funktion
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion [math]\displaystyle{ {f\left(x\right)=x}^2+px+q }[/math] werden durch Auflösen der Gleichung [math]\displaystyle{ x^2+px+q=0 }[/math] nach [math]\displaystyle{ x }[/math] ausgerechnet. Die Lösung der Gleichung wird mit der p-q-Formel, [math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} }[/math], berechnet. Ist der Wert unter der Wurzel negativ, existiert keine Nullstelle. Ist der Wert unter der Wurzel 0 existiert genau eine Nullstelle und ansonsten existieren zwei Nullstellen.
pq-Formel anwenden
Wir betrachten [math]\displaystyle{ f(x)=2x^2+8x+4 }[/math]. Wir rechnen
[math]\displaystyle{ {2x}^2+8x+4=0~|~ :2 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2+4x+2=0\ }[/math]
damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt [math]\displaystyle{ p=4 }[/math] und [math]\displaystyle{ q=2 }[/math]. Diese Werte können wir einsetzen: [math]\displaystyle{ x_1=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2-\sqrt2\approx-3,41 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2=-\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-2}=-2+\sqrt2\approx-0,59 }[/math]
Also hat f die Nullstellen [math]\displaystyle{ x_1\approx-3,41 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2\approx-0,59 }[/math]. Das sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet.
Nullstellen ohne pq-Formel berechnen
Einige Nullstellen bzw. Lösungen von quadratischen Gleichungen können auch ohne p-q-Formel bestimmt werden:
Direktes Auflösen einer quadratischen Gleichung nach x:
[math]\displaystyle{ 3\left(x-5\right)^2=27\ |\ \div3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(x-5\right)^2=9\ |\ \sqrt{~} }[/math]
[math]\displaystyle{ x-5=9\ \vee x-5=-9\ |+5 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=14\ \vee x=-4 }[/math]
Produkt von Nullstellen:
[math]\displaystyle{ \left(x-8\right)\left(x+3\right)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x-8=0\ \vee x-3=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=8\ \vee x=3 }[/math]
Direktes Auflösen nach x:
[math]\displaystyle{ 7x^2-343=0\ |\ \div7 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2-49=0\ |+49 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2=49\ \ |\ \sqrt{~} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=7 \text{ or } x=-7 }[/math]
Herleitung der p-q-Formel (nur zur Vertiefung)
Um die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=ax^2+bx+c }[/math] zu bestimmen, rechnet man:
[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ a{(x}^2+\frac{b}{a}x)+c=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ a{(x}^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2)+c=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{1}{a}{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)} }[/math]
Gilt [math]\displaystyle{ a=1 }[/math], so erhält man:
[math]\displaystyle{ x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{{(\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c)} }[/math]