Funktion

Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis, einem Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.

Definition

Eine Zuordnung, die jeder Zahl aus einer Menge genau eine reelle Zahl zuordnet, heißt Funktion. Für eine Variable x wird der [math]\displaystyle{ x }[/math]-Wert als Stelle bezeichnet. Die einem [math]\displaystyle{ x }[/math]-Wert mittels einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] eindeutig zugeordnete Zahl heißt Funktionswert von [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x }[/math] oder [math]\displaystyle{ y }[/math]-Wert. Wir schreiben dann [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W} }[/math], [math]\displaystyle{ x \mapsto y }[/math] ([math]\displaystyle{ x }[/math] wird [math]\displaystyle{ y }[/math] zugeordnet) mit dem Definitionsbereich [math]\displaystyle{ \mathbb{D} }[/math] und dem Wertebereich [math]\displaystyle{ \mathbb{W} }[/math].

Ein Punkt besteht aus [math]\displaystyle{ x }[/math]- und [math]\displaystyle{ y }[/math]-Wert, wir schreiben [math]\displaystyle{ (x|y) }[/math]. Zeichnen wir die Punkte in ein Koordinatensystem, erhalten wir den Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math].

Definitions- und Wertebereich

Definitions- und Wertebereich aus einer Funktion ablesen

Die Menge aller [math]\displaystyle{ x }[/math]-Werte, denen durch eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] ein Funktionswert zugeordnet wird, heißt Definitionsmenge oder Definitionsbereich. Diese Menge wird meist mit [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_f }[/math] bezeichnet. Die Menge aller Funktionswerte heißt Wertemenge oder Wertebereich und wird mit [math]\displaystyle{ \mathbb{W}_f }[/math] bezeichnet.

Beispiel

Wir betrachten den rechten Graphen:

Der Definitionsbereich von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist das Intervall von [math]\displaystyle{ x = -2 }[/math] bis [math]\displaystyle{ x = 6 }[/math]. Also: [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_f = [-2; 6] }[/math]

Der Wertebereich von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist das Intervall von [math]\displaystyle{ y = -4 }[/math] bis [math]\displaystyle{ y = 4 }[/math]. Also: [math]\displaystyle{ \mathbb{W}_f = [-4; 4] }[/math]

Wichtige Schreibweisen

Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] nicht in einem eingeschränkten Bereich, sondern für alle reellen Zahlen [math]\displaystyle{ x }[/math] definiert, schreibt man [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_f=\mathbb{R} }[/math].

Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] für alle positiven reellen Zahlen definiert, schreibt man [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_f=\mathbb{R}^{\gt 0} }[/math]. Wir schreiben [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_f=\mathbb{R}^{\geq0} }[/math], wenn die Zahl [math]\displaystyle{ 0 }[/math] miteingeschlossen wird. Auch hier kann man die Intervallschreibweise verwenden: [math]\displaystyle{ (0;\infty) }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ [0;\infty) }[/math].

Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] nur für negative Zahlen definiert, schreibt man entsprechend [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_f=\mathbb{R}^{\lt 0} }[/math]. Wird die [math]\displaystyle{ 0 }[/math] miteingeschlossen, schreiben wir [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_f=\mathbb{R}^{\leq 0} }[/math]. In der Intervallschreibweise bedeutet dies [math]\displaystyle{ (-\infty;0) }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ (-\infty;0] }[/math].

Beispiele

Aktienkurs als Funktion darstellen

Graph von [math]\displaystyle{ f(x)=7x+2 }[/math] mit [math]\displaystyle{ A(1|9) }[/math]

Die Variable [math]\displaystyle{ x }[/math] bezeichnet den Monat. [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x)=7x+2 }[/math] ist eine Funktion, weil für jeden [math]\displaystyle{ x }[/math]-Wert genau ein Funktionswert berechnet wird. Durch [math]\displaystyle{ f }[/math] wird der durchschnittliche Kurs einer Aktie in € für den jeweiligen Monat berechnet werden. Der Funktionswert von [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] berechnet sich beispielsweise durch [math]\displaystyle{ f(1)=7 \cdot 1+2=9 }[/math]. Der Punkt [math]\displaystyle{ A(1|9) }[/math] liegt auf dem Graphen der Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math]. Im Monat [math]\displaystyle{ 1 }[/math] liegt der durchschnittliche Kurs der Aktie also bei [math]\displaystyle{ 9 }[/math] €. Die [math]\displaystyle{ x }[/math]-Werte gehen nur von 1 bis 12, also gilt [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_f=[1;12] }[/math]. Die Funktionswerte gehen von 9 bis 86, also gilt [math]\displaystyle{ \mathbb{W}_f=[9;86] }[/math] Dabei entspricht die 1 dem Januar und die 12 entspricht Dezember.