Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Zufallsexperiment ordnet den Ergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zu. Sie wird häufig durch ein Histogramm visualisiert.

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ S=\{e_1;...;e_n\} }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ A }[/math] ein Ereignis. Die Zahlen [math]\displaystyle{ P(e_i) \in \mathbb{R} }[/math] mit

1. [math]\displaystyle{ 0 \leq P(e_i) \leq 1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ i \in \mathbb{N} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq n }[/math]

2. [math]\displaystyle{ P\left(S\right)=P\left(e_1\right)+\ldots+P\left(e_n\right)\mathrm{\ =1} }[/math]

3. [math]\displaystyle{ P(A)=P(e_1)+P(e_2)+...+P(e_m) }[/math] mit [math]\displaystyle{ A=\{e_1,e_2,...,e_m \} }[/math] und [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{N} }[/math]

nennt man die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses [math]\displaystyle{ e_i }[/math] für [math]\displaystyle{ i,n\ \in\mathbb{N} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1\ \leq i\ \leq n }[/math]. Die Funktion [math]\displaystyle{ P:S\rightarrow \mathbb{R} }[/math] heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine Zufallsvariable und [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N} }[/math]. Es gelten die folgenden Konventionen:

• [math]\displaystyle{ P(X=k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
• [math]\displaystyle{ P(X\leq k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
• [math]\displaystyle{ P(X \lt k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
• [math]\displaystyle{ P(X\geq k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
• [math]\displaystyle{ P(X \gt k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.

Außerdem gilt

• [math]\displaystyle{ P(X\le k)=1-P(X\gt k) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X\geq k)=1-P(X\lt k) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X\geq k)=1-P(X\le k)+P(X=k) }[/math]

Wahrscheinlichkeiten für Mengen berechnen

Für ein Zufallsexperiment sei [math]\displaystyle{ P }[/math] eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und [math]\displaystyle{ A,~ B }[/math] seien Ereignisse. Dann gilt:

[math]\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) }[/math]

und

[math]\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)\ +P(B)-P(A\cap B) }[/math]

Beispiele

Wahrscheinlichkeitsverteilung einfacher Münzwurf

Beim Münzwurf gilt beispielsweise [math]\displaystyle{ Kopf\mapsto\frac{1}{2} }[/math] und [math]\displaystyle{ Zahl\mapsto\frac{1}{2} }[/math]. Die Zuordnung wird oft als Tabelle dargestellt:

Ergebnis [math]\displaystyle{ e_i }[/math]	Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(e_i) }[/math]
Kopf	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]
Zahl	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]

Wahrscheinlichkeitsverteilung einmaliger Wurf eines Würfels

Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet [math]\displaystyle{ X=3 }[/math], dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch [math]\displaystyle{ P(X=k)=\frac{1}{6} }[/math] mit [math]\displaystyle{ k \in \{1;...;6\} }[/math] gegeben.