Stammfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine Funktion | Eine Funktion <math>F</math>, deren [[Ableitung]] <math>f</math> ist, heißt Stammfunktion von <math>f</math>. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als Integrieren und umgangssprachlich als 'Aufleiten' bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]) ermittelt, die sich zwischen dem [[Graph|Graphen]] der dazugehörigen [[Ableitungsfunktion]] und der x-Achse befinden. | ||
==Definition== | ==Definition== | ||
Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt, | Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a; b] \subseteq \mathbb{R}</math> definiert und gibt es eine Funktion <math>F</math>, sodass für alle <math>x</math> aus diesem Intervall <math>F'(x) = f(x)</math> gilt, | ||
dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> | dann wird <math>F</math> als eine '''Stammfunktion''' von <math>f</math> bezeichnet. Die Funktion <math>f</math> ist die [[Ableitung]] von <math>F</math>. | ||
==Unbestimmtes Integral== | ==Unbestimmtes Integral== | ||
Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer | Das '''unbestimmte Integral''' von <math>f</math> ist die Menge aller Stammfunktionen von <math>f</math>, welche durch Hinzufügen einer Konstanten <math>C \in \mathbb{R}</math> dargestellt werden können | ||
:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>. | :<math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>. | ||
==Integrationsregeln== | ==Integrationsregeln== | ||
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===Potenzregel=== | ===Potenzregel=== | ||
Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt: | Für eine ganzrationale Funktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n \neq -1</math> gilt: | ||
:<math>\int (x^n) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math> | :<math>\int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math> | ||
Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt: | Für eine gebrochenrationale Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x^n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^{>1}</math> und <math>x \neq 0 </math> gilt: | ||
:<math>\int (\frac{1}{x^n}) dx= \int x^{-n} dx= | :<math>\int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C</math> | ||
Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt: | Es sei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, dann gilt: | ||
:<math>\int (\frac{1}{x})dx =\ln|x|+C</math> | :<math>\int (\frac{1}{x}) \, dx =\ln|x|+C</math> | ||
Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt: | Für eine Wurzelfunktion <math>f(x) =\sqrt[n]{x^m}</math> mit <math>\frac{m}{n} \neq -1</math> gilt: | ||
:<math>\int (\sqrt[n]{x^m})dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math> | :<math>\int (\sqrt[n]{x^m}) \, dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) \, dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C</math> | ||
Für eine Exponentialfunktion <math>f(x) = e^{nx}</math> mit <math>n \neq 0</math> gilt: | Für eine Exponentialfunktion <math>f(x) = e^{nx}</math> mit <math>n \neq 0</math> gilt: | ||
:<math>\int e^{nx} dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C</math> | :<math>\int e^{nx} \, dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C</math> | ||
===Faktorregel=== | ===Faktorregel=== | ||
Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt: | Für <math>f(x) = c \cdot g(x)</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> gilt: | ||
:<math>\int (c \cdot g(x)) dx = c \cdot \int g(x) dx</math> | :<math>\int (c \cdot g(x)) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx</math> | ||
===Summenregel=== | ===Summenregel=== | ||
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===Potenzregel anwenden=== | ===Potenzregel anwenden=== | ||
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:<math>\int (x^3) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math> | :<math>\int (x^3) \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C</math> | ||
berechnet. <math>F(x) = \frac{x^4}{4} + 5</math> ist beispielsweise eine Stammfunktion von <math>f</math>, da <math>F'(x)=x^3=f(x)</math> gilt. | berechnet. <math>F(x) = \frac{x^4}{4} + 5</math> ist beispielsweise eine Stammfunktion von <math>f</math>, da <math>F'(x)=x^3=f(x)</math> gilt. | ||
===Faktor- und Summenregel anwenden=== | ===Faktor- und Summenregel anwenden=== | ||
Das unbestimmte Integral der Funktion <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> wird durch | Das unbestimmte Integral der Funktion <math>h(x) = 2x^2 + 3x^3</math> wird durch | ||
:<math>\int (2x^2 + 3x^3) dx = \int 2x^2 | :<math>\int (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 3x^3 \, dx= 2 \int x^2 \, dx + 3\int x^3 \, dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C</math> | ||
berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>. | berechnet. <math>H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5</math> und <math>H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>h</math>. | ||
===Gebrochenrationale Funktion integrieren=== | ===Gebrochenrationale Funktion integrieren=== | ||
Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch | Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}</math> wird durch | ||
:<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) dx = \int \frac{2}{x} dx + \int \frac{3}{x^2} dx = 2 \int x^{-1} dx + 3 \int x^{-2} dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C</math> | :<math>\int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-1} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C</math> | ||
berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>. | berechnet. <math>F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7</math> und <math>F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10</math> sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>. | ||
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<math>f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3}</math> | <math>f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3}</math> | ||
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:<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} dx</math> | :<math>\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx</math> | ||
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<math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5</math> und | <math>F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5</math> und | ||
<math>F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12</math> | <math>F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12</math> | ||
sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>. | |||
===Exponentialfunktion integieren=== | |||
Das unbestimmte Integral der Funktion <math>f(x) = 5e^{3x}</math> wird durch | |||
:<math>\int 5e^{3x} \, dx = 5 \int e^{3x} \, dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C</math> | |||
berechnet. | |||
<math>F_1(x) = \frac{5}{3} e^{3x} + 4</math> und <math>F_2(x) = \frac{5}{3} e^{3x} - 9</math> | |||
sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>. | sind Beispiele für Stammfunktionen von <math>f</math>. | ||
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Aktuelle Version vom 24. Februar 2025, 18:26 Uhr
Eine Funktion [math]\displaystyle{ F }[/math], deren Ableitung [math]\displaystyle{ f }[/math] ist, heißt Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als Integrieren und umgangssprachlich als 'Aufleiten' bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) ermittelt, die sich zwischen dem Graphen der dazugehörigen Ableitungsfunktion und der x-Achse befinden.
Definition
Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] auf einem Intervall [math]\displaystyle{ [a; b] \subseteq \mathbb{R} }[/math] definiert und gibt es eine Funktion [math]\displaystyle{ F }[/math], sodass für alle [math]\displaystyle{ x }[/math] aus diesem Intervall [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x) }[/math] gilt, dann wird [math]\displaystyle{ F }[/math] als eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math] bezeichnet. Die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] ist die Ableitung von [math]\displaystyle{ F }[/math].
Unbestimmtes Integral
Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist die Menge aller Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math], welche durch Hinzufügen einer Konstanten [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R} }[/math] dargestellt werden können
- [math]\displaystyle{ \int f(x) \, dx = F(x) + C }[/math].
Integrationsregeln
Es sei [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math]. Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
Potenzregel
Für eine ganzrationale Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \neq -1 }[/math] gilt:
- [math]\displaystyle{ \int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math]
Für eine gebrochenrationale Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}^{\gt 1} }[/math] und [math]\displaystyle{ x \neq 0 }[/math] gilt:
- [math]\displaystyle{ \int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C }[/math]
Es sei [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x} }[/math], dann gilt:
- [math]\displaystyle{ \int (\frac{1}{x}) \, dx =\ln|x|+C }[/math]
Für eine Wurzelfunktion [math]\displaystyle{ f(x) =\sqrt[n]{x^m} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} \neq -1 }[/math] gilt:
- [math]\displaystyle{ \int (\sqrt[n]{x^m}) \, dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) \, dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C }[/math]
Für eine Exponentialfunktion [math]\displaystyle{ f(x) = e^{nx} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \neq 0 }[/math] gilt:
- [math]\displaystyle{ \int e^{nx} \, dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C }[/math]
Faktorregel
Für [math]\displaystyle{ f(x) = c \cdot g(x) }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R} }[/math] gilt:
- [math]\displaystyle{ \int (c \cdot g(x)) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx }[/math]
Summenregel
Für [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) + h(x) }[/math] gilt:
- [math]\displaystyle{ \int (g(x) + h(x)) \, dx = \int g(x) \, dx + \int h(x) \, dx }[/math]
Beispiele
Potenzregel anwenden
Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math] wird durch
- [math]\displaystyle{ \int (x^3) \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C }[/math]
berechnet. [math]\displaystyle{ F(x) = \frac{x^4}{4} + 5 }[/math] ist beispielsweise eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math], da [math]\displaystyle{ F'(x)=x^3=f(x) }[/math] gilt.
Faktor- und Summenregel anwenden
Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ h(x) = 2x^2 + 3x^3 }[/math] wird durch
- [math]\displaystyle{ \int (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 3x^3 \, dx= 2 \int x^2 \, dx + 3\int x^3 \, dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C }[/math]
berechnet. [math]\displaystyle{ H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5 }[/math] und [math]\displaystyle{ H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ h }[/math].
Gebrochenrationale Funktion integrieren
Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} }[/math] wird durch
- [math]\displaystyle{ \int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-1} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C }[/math]
berechnet. [math]\displaystyle{ F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7 }[/math] und [math]\displaystyle{ F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math].
Wurzelfunktion integrieren
Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} }[/math] wird durch
- [math]\displaystyle{ \int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx }[/math]
- [math]\displaystyle{ = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx }[/math]
- [math]\displaystyle{ = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}+C }[/math]
- [math]\displaystyle{ = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5 }[/math] und [math]\displaystyle{ F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math].
Exponentialfunktion integieren
Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = 5e^{3x} }[/math] wird durch
- [math]\displaystyle{ \int 5e^{3x} \, dx = 5 \int e^{3x} \, dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C }[/math]
berechnet. [math]\displaystyle{ F_1(x) = \frac{5}{3} e^{3x} + 4 }[/math] und [math]\displaystyle{ F_2(x) = \frac{5}{3} e^{3x} - 9 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math].