Kettenregel

Die Kettenregel ist wie die Produktregel eine Regel zum Ableiten von Funktionen.

Definition

Sind $u:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ und $v:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ differenzierbare Funktionen, so ist auch

$f(x)=u(v(x))$ für alle $x\in \mathbb{D}$

differenzierbar. Für die Ableitung von $f$ gilt

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x).$

Beweis der Kettenregel

Wir leiten die Funktion $f:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ mit der Funktionsvorschrift $f(x)=u(v(x))$ ab.

Ableitung durch Grenzwert des Differenzenquotienten ausdrücken:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Da $f(x)=u(v(x))$, setzen wir dies in den Differenzenquotienten ein:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(v(x_0+h))-u(v(x_0))}{h}$

Nun erweitern wir durch $v(x_0+h)-v(x_0)$, um die Kettenregel herleiten zu können:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}(\frac{u(v(x_0+h))-u(v(x_0))}{v(x_0+h)-v(x_0)}\cdot \frac{v(x_0+h)-v(x_0)}{h})$

Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von $u$ an der Stelle $v(x_0)$, der zweite der Differenzenquotient von $v$ an der Stelle $x_0$.

Nun betrachten wir die Grenzwerte getrennt:

• Der erste Term wird zu $u^{\prime }(v(x_0))$, da $\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(v(x_0+h))-u(v(x_0))}{v(x_0+h)-v(x_0)}=u^{\prime }(v(x_0))$.
• Der zweite Term wird zu $v^{\prime }(x_0)$, weil dies der Differenzenquotient von $v$ an der Stelle $x_0$ ist.

Damit erhalten wir die Kettenregel:

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$

Beispiele

Kettenregel anwenden

Gegeben seien die Funktionen $u(x)=x^3$ und $v(x)=x^2+1$. Wir suchen die Ableitung der Funktion $f(x)=u(v(x))=(x^2+1{)}^3$.

Nach der Kettenregel gilt: $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$.

Berechnen wir die Ableitungen: $u^{\prime }(v(x))=3(v(x){)}^2=3(x^2+1{)}^2$ und $v^{\prime }(x)=2x$.

Einsetzen ergibt: $f^{\prime }(x)=3(x^2+1{)}^2\cdot 2x=6x(x^2+1{)}^2$.

Ketten- und Produktregel anwenden

Gegeben seien die Funktionen $u(x)=(x^3+2x{)}^4$ und $v(x)=e^x$. Wir suchen die Ableitung der Funktion $f(x)=u(x)\cdot v(x)=(x^3+2x{)}^4\cdot e^x$.

Nach der Produktregel gilt: $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$.

Zunächst wenden wir die Kettenregel auf $u(x)$ an: $u(x)=(x^3+2x{)}^4$ Nach der Kettenregel: $u^{\prime }(x)=4(x^3+2x{)}^3\cdot (3x^2+2)$.

Für $v(x)$ gilt: $v^{\prime }(x)=e^x$.

Einsetzen in die Produktregel ergibt: $f^{\prime }(x)=[4(x^3+2x{)}^3\cdot (3x^2+2)]\cdot e^x+(x^3+2x{)}^4\cdot e^x$.

Faktorisiertes Ergebnis: $f^{\prime }(x)=e^x\cdot [4(x^3+2x{)}^3\cdot (3x^2+2)+(x^3+2x{)}^4]$.