Natürliche Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt '''natürliche Exponentialfunktion''' oder '''e-Funktion''' und hat die [[Ableitung]] <math>f'(x)=e^x</math>. | Die [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=e^x</math> mit der Euler'schen Zahl <math>e</math> heißt '''natürliche Exponentialfunktion''' oder '''e-Funktion''' und hat die [[Ableitung]] <math>f'(x)=e^x</math>. | ||
==Erweiterte Form== | |||
Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot e^{\lambda x}+d</math> mit <math>a,~c,~d,~\lambda \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte e-Funktion'''. . | |||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
===Graphen von e-Funktionen=== | |||
[[Datei:E-FunktionGraphen1.png|mini|Graphen von <math>f(x)=e^x</math>,<math>f_1(x)=e^{2x}</math>, <math>f_2(x)=e^{x+2}</math>, <math>f_3(x)=-e^x</math>, <math>f_4(x)=(-2x^2+3)e^x-4</math>]] | |||
Auf der rechten Seite sehen wir die Graphen einer e-Funktion und von e-Funktionen in erweiterter Form. <math>f</math> zeigt die e-Funktion. <math>f_1</math> verläuft im Vergleich zu <math>f</math> steiler. Schiebt man <math>f</math> um zwei Stellen nach rechts, erhält man <math>f_2</math>. Wird <math>f</math> an der x-Achse gespiegelt, erhalten wir <math>f_3</math>. <math>f_4</math> entsteht aus <math>f</math>, indem der Graph abschnittsweise die Form des Polynoms <math>-2x^2+3</math> annimmt und für <math>x</math> gegen <math>- \infty</math> <math>y=4</math> als Asymptote hat. | |||
===Ableitungen von e-Funktionen=== | ===Ableitungen von e-Funktionen=== | ||
Wir bilden die Ableitungen von | Wir bilden die Ableitungen von <math>f,g,h</math>: | ||
*f(x)=e^x | *<math>f(x)=e^x</math> | ||
**<math>f'(x)=e^x</math> | |||
**<math>f''(x)=e^x</math> | |||
*<math>g(x)=e^x-3x^2+3</math> | |||
**<math>g'(x)=e^x-6x</math> | |||
**<math>g''(x)=e^x-6</math> | |||
*<math>h(x)=(-2)e^x-3x^4+3x</math> | |||
**<math>h'(x)=(-2)e^x-12x^3+3</math> | |||
**<math>h''(x)=e^x-36x^2</math> | |||
[[Kategorie:Mathematische Funktion]] | |||
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | |||
Aktuelle Version vom 6. September 2024, 12:51 Uhr
Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] mit der Basis [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math]. Viele Phänomene aus der Natur werden mit Hilfe der e-Funktion modelliert. Außerdem gilt für die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math].
Euler'sche Zahl e
Die Euler'sche Zahl ist [math]\displaystyle{ e \approx 2,71828... }[/math].
Herleitung der Euler'schen Zahl e
Wir verwenden, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math] durch [math]\displaystyle{ f'(x)=ca^x }[/math] gegeben ist. Wir setzen [math]\displaystyle{ c=1 }[/math] und ermitteln eine Basis [math]\displaystyle{ a }[/math], so dass [math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math] die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=a^x }[/math] hat:
[math]\displaystyle{ c=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a^h-1}{h} \approx 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ a^h-1 \approx h }[/math]
[math]\displaystyle{ a^h \approx h+1 }[/math]
[math]\displaystyle{ a \approx \sqrt[h]{h+1} }[/math]
Lassen wir [math]\displaystyle{ h }[/math] gegen 0 laufen, erhalten wir [math]\displaystyle{ a \approx 2,71828... }[/math]. Dies ist die Euler'sche Zahl [math]\displaystyle{ e }[/math].
Definition
Die Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R} }[/math] der Form [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] mit der Euler'schen Zahl [math]\displaystyle{ e }[/math] heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion und hat die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math].
Erweiterte Form
Eine Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R} }[/math] der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot e^{\lambda x}+d }[/math] mit [math]\displaystyle{ a,~c,~d,~\lambda \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1 }[/math] heißt erweiterte e-Funktion. .
Beispiele
Graphen von e-Funktionen
Auf der rechten Seite sehen wir die Graphen einer e-Funktion und von e-Funktionen in erweiterter Form. [math]\displaystyle{ f }[/math] zeigt die e-Funktion. [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] verläuft im Vergleich zu [math]\displaystyle{ f }[/math] steiler. Schiebt man [math]\displaystyle{ f }[/math] um zwei Stellen nach rechts, erhält man [math]\displaystyle{ f_2 }[/math]. Wird [math]\displaystyle{ f }[/math] an der x-Achse gespiegelt, erhalten wir [math]\displaystyle{ f_3 }[/math]. [math]\displaystyle{ f_4 }[/math] entsteht aus [math]\displaystyle{ f }[/math], indem der Graph abschnittsweise die Form des Polynoms [math]\displaystyle{ -2x^2+3 }[/math] annimmt und für [math]\displaystyle{ x }[/math] gegen [math]\displaystyle{ - \infty }[/math] [math]\displaystyle{ y=4 }[/math] als Asymptote hat.
Ableitungen von e-Funktionen
Wir bilden die Ableitungen von [math]\displaystyle{ f,g,h }[/math]:
- [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]
- [math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math]
- [math]\displaystyle{ f''(x)=e^x }[/math]
- [math]\displaystyle{ g(x)=e^x-3x^2+3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ g'(x)=e^x-6x }[/math]
- [math]\displaystyle{ g''(x)=e^x-6 }[/math]
- [math]\displaystyle{ h(x)=(-2)e^x-3x^4+3x }[/math]
- [math]\displaystyle{ h'(x)=(-2)e^x-12x^3+3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ h''(x)=e^x-36x^2 }[/math]