Stetige Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Beispiele==

===Unstetige ~~Funktionen~~===

===Unstetige Funktion===

[[Datei:StetigkeitUnstetigeFunktion.png|mini|Graph der unstetigen Funktion <math>f(x)=\begin{cases}

x, & \text{wenn }x\le 1\\

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Da die Grenzwerte von links und von rechts nicht übereinstimmen (<math>1 \neq 2</math>), existiert der Grenzwert <math>\lim_{x \to 1} f(x)</math> nicht.

===Stetige ~~Funktionen~~===

===Stetige Funktion===

[[Datei:StetigkeitLineareFunktion.png|mini|Graph der stetigen Funktion <math>f(x)=x</math>]]

Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Der Funktionswert an einer Stelle <math>x_0</math> ist:

<math>

f(x_0) = x_0

</math>

Für <math>f(x) = x</math> gilt:

<math>

|f(x) - f(x_0)| = |x - x_0|

</math>

Da wir wollen, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> gilt, müssen wir sicherstellen, dass:

<math>

|x - x_0| < \delta \implies |x - x_0| < \epsilon

</math>

Hier sehen wir, dass wir einfach <math>\delta = \epsilon</math> wählen können. Das bedeutet, dass für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein entsprechendes <math>\delta = \epsilon</math> existiert, sodass die Bedingung <math>|x - x_0| < \delta</math> garantiert, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> erfüllt ist.

Da wir für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta = \epsilon</math> finden können, das die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt, ist die Funktion <math>f(x) = x</math> an jeder Stelle <math>x_0</math> '''stetig'''.

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

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 ==Beispiele==
-===Unstetige Funktionen===
+===Unstetige Funktion===
 [[Datei:StetigkeitUnstetigeFunktion.png|mini|Graph der unstetigen Funktion <math>f(x)=\begin{cases}
    x,   & \text{wenn }x\le 1\\
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 Da die Grenzwerte von links und von rechts nicht übereinstimmen (<math>1 \neq 2</math>), existiert der Grenzwert <math>\lim_{x \to 1} f(x)</math> nicht.
-===Stetige Funktionen===
+===Stetige Funktion===
+[[Datei:StetigkeitLineareFunktion.png|mini|Graph der stetigen Funktion <math>f(x)=x</math>]]
+Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.
+Der Funktionswert an einer Stelle <math>x_0</math> ist:
+<math>
+f(x_0) = x_0
+</math>
+Für <math>f(x) = x</math> gilt:
+<math>
+|f(x) - f(x_0)| = |x - x_0|
+</math>
+Da wir wollen, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> gilt, müssen wir sicherstellen, dass:
+<math>
+|x - x_0| < \delta \implies |x - x_0| < \epsilon
+</math>
+Hier sehen wir, dass wir einfach <math>\delta = \epsilon</math> wählen können. Das bedeutet, dass für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein entsprechendes <math>\delta = \epsilon</math> existiert, sodass die Bedingung <math>|x - x_0| < \delta</math> garantiert, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> erfüllt ist.
+Da wir für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta = \epsilon</math> finden können, das die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt, ist die Funktion <math>f(x) = x</math> an jeder Stelle <math>x_0</math> '''stetig'''.
+[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
+[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]